図において、$\angle CBD = 60^\circ$, $\angle DAB = 30^\circ$, $\angle DBA = 15^\circ$, $AB = 50$m であるとき、塔の高さ $CD$ を求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$\angle CBD = 60^\circ$, $\angle DAB = 30^\circ$, $\angle DBA = 15^\circ$, $AB = 50$m であるとき、塔の高さ $CD$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$ において、$\angle ADB$ を求めます。

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle DBA = 180^\circ - 30^\circ - 15^\circ = 135^\circ$.

$\triangle ABD$ に正弦定理を適用すると、

$\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{AD}{\sin \angle DBA}$.

よって、

$\frac{50}{\sin 135^\circ} = \frac{AD}{\sin 15^\circ}$.

$AD = \frac{50 \sin 15^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{50 \sin 15^\circ}{\sin (180^\circ - 45^\circ)} = \frac{50 \sin 15^\circ}{\sin 45^\circ}$.

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AD = \frac{50 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{50 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{50 (\sqrt{3} - 1)}{2} = 25 (\sqrt{3} - 1)$.

次に、$\triangle ADC$ は直角三角形なので、

$\tan \angle DAB = \frac{CD}{AD}$.

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、

$CD = AD \tan 30^\circ = 25(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 25 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 25 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 25 \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right)$.

3. 最終的な答え

$\frac{25(3-\sqrt{3})}{3}$ m