高さ100mの展望台から、南の方向にある家Pを見下ろす角度が30°、南の方向から120°西へ向きを変えた方向にある家Qを見下ろす角度が60°である。P, Qが同じ高さにあるとき、2つの家の間の距離を求める。

## 回答

1. 問題の内容

高さ100mの展望台から、南の方向にある家Pを見下ろす角度が30°、南の方向から120°西へ向きを変えた方向にある家Qを見下ろす角度が60°である。P, Qが同じ高さにあるとき、2つの家の間の距離を求める。

2. 解き方の手順

まず、展望台を点O、Pの真下の地点をP'、Qの真下の地点をQ'とする。

OP'とOQ'の長さをそれぞれ求める。

$\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan(60°) = \sqrt{3}$である。

よって、

$OP' = \frac{100}{\tan(30°)} = 100\sqrt{3}$

$OQ' = \frac{100}{\tan(60°)} = \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3}$

三角形OP'Q'において、P'OQ'=120°であるから、余弦定理を用いてPQ'を求める。

$PQ'^2 = OP'^2 + OQ'^2 - 2 * OP' * OQ' * \cos(120°)$

ここで$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$であるから

$PQ'^2 = (100\sqrt{3})^2 + (\frac{100\sqrt{3}}{3})^2 - 2 * (100\sqrt{3}) * (\frac{100\sqrt{3}}{3}) * (-\frac{1}{2})$

$PQ'^2 = 30000 + \frac{10000}{3} + 10000$

$PQ'^2 = 40000 + \frac{10000}{3}$

$PQ'^2 = \frac{120000 + 10000}{3} = \frac{130000}{3}$

$PQ' = \sqrt{\frac{130000}{3}} = 100\sqrt{\frac{13}{3}} = 100\frac{\sqrt{39}}{3}$

3. 最終的な答え

2つの家の間の距離は $100\frac{\sqrt{39}}{3}$mです。