原点をOとする座標空間に2点A(-2, 2, 4), B(-1, 1, 3)がある。点Bから直線OAに下ろした垂線の足をHとするとき、点Hの座標を求める。

1. 問題の内容

原点をOとする座標空間に2点A(-2, 2, 4), B(-1, 1, 3)がある。点Bから直線OAに下ろした垂線の足をHとするとき、点Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Hは直線OA上にあるので、実数$t$を用いて$\vec{OH} = t\vec{OA}$と表すことができる。したがって、点Hの座標は$(-2t, 2t, 4t)$となる。

$\vec{BH}$は直線OAと垂直であるから、$\vec{BH} \cdot \vec{OA} = 0$が成り立つ。

$\vec{BH} = \vec{OH} - \vec{OB}$より、$\vec{BH} = (-2t + 1, 2t - 1, 4t - 3)$である。

$\vec{OA} = (-2, 2, 4)$であるから、

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\vec{BH} \cdot \vec{OA} = (-2t + 1)(-2) + (2t - 1)(2) + (4t - 3)(4) = 0

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この式を解くと、

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4t - 2 + 4t - 2 + 16t - 12 = 0 \\

24t - 16 = 0 \\

24t = 16 \\

t = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}

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したがって、点Hの座標は$(-2(\frac{2}{3}), 2(\frac{2}{3}), 4(\frac{2}{3}))$となる。

3. 最終的な答え

点Hの座標は$(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3})$である。