SENSEI AI
About App

放物線 $C$ は $x^2$ の係数が1であり、頂点が直線 $y = \frac{2}{3}x$ 上の点 $(t, \frac{2}{3}t)$ である。 (1) $t = -3$ のときの $C$ の方程式を求める。 (2) $C$ が点 $(2, 3)$ を通るような $t$ の値を小さい順に求める。 (3) $C$ が $x$ 軸と異なる2つの共有点をもつような $t$ の範囲と、$C$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さが8となるような $t$ の値を求める。 (4) $C$ を $y$ 軸に関して対称移動し、続けて $x$ 軸方向に5、$y$ 軸方向に6だけ平行移動した放物線を $C'$ とする。$C'$ の頂点が直線 $y = \frac{2}{3}x$ 上にあるような $t$ の値を求める。

幾何学放物線二次関数頂点平行移動対称移動判別式
2025/7/12
はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 CC は x2x^2 の係数が1であり、頂点が直線 y=23xy = \frac{2}{3}x 上の点 (t,23t)(t, \frac{2}{3}t) である。
(1) t=−3t = -3 のときの CC の方程式を求める。
(2) CC が点 (2,3)(2, 3) を通るような tt の値を小さい順に求める。
(3) CC が xx 軸と異なる2つの共有点をもつような tt の範囲と、CC が xx 軸から切り取る線分の長さが8となるような tt の値を求める。
(4) CC を yy 軸に関して対称移動し、続けて xx 軸方向に5、yy 軸方向に6だけ平行移動した放物線を C′C' とする。C′C' の頂点が直線 y=23xy = \frac{2}{3}x 上にあるような tt の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) CC の方程式は、y=(x−t)2+23ty = (x - t)^2 + \frac{2}{3}t と表せる。t=−3t = -3 を代入すると、
y=(x+3)2−2=x2+6x+9−2=x2+6x+7y = (x + 3)^2 - 2 = x^2 + 6x + 9 - 2 = x^2 + 6x + 7
よって、y=x2+6x+7y = x^2 + 6x + 7
(2) CC が点 (2,3)(2, 3) を通るので、
3=(2−t)2+23t3 = (2 - t)^2 + \frac{2}{3}t
3=4−4t+t2+23t3 = 4 - 4t + t^2 + \frac{2}{3}t
0=t2−103t+10 = t^2 - \frac{10}{3}t + 1
0=3t2−10t+30 = 3t^2 - 10t + 3
0=(3t−1)(t−3)0 = (3t - 1)(t - 3)
t=13,3t = \frac{1}{3}, 3
小さい順に t=13,3t = \frac{1}{3}, 3
(3) y=(x−t)2+23ty = (x - t)^2 + \frac{2}{3}t が xx 軸と異なる2つの共有点をもつのは、判別式 D>0D > 0 のときである。
D=(−2t)2−4⋅23t⋅1>0D = (-2t)^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} t \cdot 1 > 0
簡略化された式から、xx 軸との交点は頂点の yy 座標が負であればよい。
23t<0\frac{2}{3}t < 0
t<0t < 0
CC が xx 軸から切り取る線分の長さが8となるのは、
(x−t)2+23t=0(x - t)^2 + \frac{2}{3}t = 0 の2つの解の差が8のときである。
x=t±−23tx = t \pm \sqrt{-\frac{2}{3}t}
2−23t=82\sqrt{-\frac{2}{3}t} = 8
−23t=4\sqrt{-\frac{2}{3}t} = 4
−23t=16-\frac{2}{3}t = 16
t=−24t = -24
(4) CC を yy 軸に関して対称移動すると、y=(−x−t)2+23t=(x+t)2+23ty = (-x - t)^2 + \frac{2}{3}t = (x + t)^2 + \frac{2}{3}t
さらに xx 軸方向に5、yy 軸方向に6だけ平行移動すると、y=(x−5+t)2+23t+6y = (x - 5 + t)^2 + \frac{2}{3}t + 6
C′C' の頂点は (5−t,23t+6)(5 - t, \frac{2}{3}t + 6) で、これが直線 y=23xy = \frac{2}{3}x 上にあるので、
23t+6=23(5−t)\frac{2}{3}t + 6 = \frac{2}{3}(5 - t)
23t+6=103−23t\frac{2}{3}t + 6 = \frac{10}{3} - \frac{2}{3}t
43t=103−6=10−183=−83\frac{4}{3}t = \frac{10}{3} - 6 = \frac{10 - 18}{3} = -\frac{8}{3}
4t=−84t = -8
t=−2t = -2

3. 最終的な答え

7: y=x2+6x+7y = x^2 + 6x + 7
8: 13\frac{1}{3}
9: 33
10: t<0t < 0
11: −24-24
12: −2-2

「幾何学」の関連問題

問題は、xy平面上の2点(3, 0)と(-3, 0)を焦点とし、これらの2焦点からの距離の差が2であるような点の軌跡である双曲線の方程式を $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B}...

双曲線軌跡焦点方程式
2025/7/12

$xy$平面上の2点$(3, 0), (-3, 0)$を焦点とし、これら2焦点からの距離の差が2であるような点の軌跡である双曲線の方程式を$\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} ...

双曲線軌跡焦点標準形
2025/7/12

$xy$ 平面上の双曲線 $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{12^2} = 1$ の頂点の $x$ 座標のうち、大きい方の値を求める問題です。

双曲線座標頂点
2025/7/12

$xy$ 平面上の双曲線 $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{12^2} = 1$ の焦点のうち、$x$ 座標が大きい方の $x$ 座標の値を求める。

双曲線焦点座標平面
2025/7/12

円Oの周上に点A, B, C, Dがあり、三角形ABCは正三角形である。線分BD上に点Eがあり、BE = CDである。 (1) AE = ADであることを証明する。 (2) 点Aから線分BDに下ろした...

円正三角形円周角の定理合同直角三角形面積垂線
2025/7/12

座標空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(1,1,1)$, $B(-1,2,3)$, $C(a,-1,4)$ が与えられている。 (1) $a$ が全実数を動くとき、三角形 $ABC$ の面積の...

ベクトル空間図形面積体積外積四面体
2025/7/12

全体が長方形と正方形からなる図形があり、その全体の面積は48 $cm^2$である。長方形の面積は48 $cm^2$と示されている。正方形の一辺の長さを求める。

面積正方形長方形図形
2025/7/12

半径3の球に内接する直円錐があり、直円錐の高さは3以上とする。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、次の問いに答えよ。 (1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。 (2) $...

体積球円錐微分最大値
2025/7/12

三角形ABCにおいて、AB=8, AC=5, ∠BAC=60°である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。以...

三角形外接円正弦定理余弦定理角の二等分線の定理方べきの定理
2025/7/12

正方形ABCDがあり、原点を通る直線 $y=mx$ が辺BC, ADとそれぞれ点P, Qで交わっている。四角形ABPQの面積を$a$, 四角形PCDQの面積を$b$とする。 (1) $a=b$のとき、...

図形正方形面積座標直線
2025/7/12