2点 A(0, 1), B(0, -2) からの距離の比が 1:2 である点 P(x, y) の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 A(0, 1), B(0, -2) からの距離の比が 1:2 である点 P(x, y) の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 P(x, y) と点 A(0, 1) の距離 AP、および点 P(x, y) と点 B(0, -2) の距離 BP をそれぞれ計算します。

$AP = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$

$BP = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-2))^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$

問題文より、AP : BP = 1 : 2 であるため、

$AP = \frac{1}{2}BP$

$\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$

両辺を2倍して、

$2\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$

両辺を2乗して、

$4(x^2 + (y - 1)^2) = x^2 + (y + 2)^2$

展開して整理します。

$4(x^2 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$4x^2 + 4y^2 - 8y + 4 = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$3x^2 + 3y^2 - 12y = 0$

両辺を3で割ると、

$x^2 + y^2 - 4y = 0$

平方完成して円の方程式の形にします。

$x^2 + (y^2 - 4y) = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

これは、中心 (0, 2), 半径 2 の円を表します。

3. 最終的な答え

$x^2 + (y - 2)^2 = 4$