三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$ であり、外接円の半径は2である。点Aから辺BCに垂線AHを下ろす。 (1) 辺ABの長さ、垂線AHの長さ、三角形ABCの面積を求める。 (2) 点Cを含まない弧AB上に、AD:BD = 5:3となる点Dをとる。BDの長さ、sin∠BCDの値、DE/EHの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$ であり、外接円の半径は2である。点Aから辺BCに垂線AHを下ろす。

(1) 辺ABの長さ、垂線AHの長さ、三角形ABCの面積を求める。

(2) 点Cを含まない弧AB上に、AD:BD = 5:3となる点Dをとる。BDの長さ、sin∠BCDの値、DE/EHの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle ACB$を求める。三角形の内角の和は180度なので、$\angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$である。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{C}} = 2R$

$AB = 2R \sin{C} = 2 \times 2 \times \sin{60^\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

次に、AHの長さを求める。$\angle ABC = 45^\circ$より、三角形ABHは$\angle AHB = 90^\circ$の直角三角形なので、$\sin{45^\circ} = \frac{AH}{AB}$。

$AH = AB \sin{45^\circ} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$

最後に、三角形ABCの面積を求める。$\angle ABC = 45^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$である。正弦定理より$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$だから

$AC = 2R \sin{B} = 2 \times 2 \times \sin{45^\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times BC \times AH$で求められる。BCの長さを求めるために正弦定理を使うと、

$\frac{BC}{\sin{A}} = 2R$

$BC = 2R \sin{A} = 4 \sin{75^\circ} = 4 \sin{(45^\circ + 30^\circ)} = 4 (\sin{45^\circ}\cos{30^\circ} + \cos{45^\circ}\sin{30^\circ}) = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}) = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

したがって、三角形ABCの面積は

$\frac{1}{2} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times \sqrt{6} = \frac{1}{2} (6 + \sqrt{12}) = \frac{1}{2} (6 + 2\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3}$

(2)

ABの円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB = 60^\circ$

AD:BD = 5:3より、$BD = \frac{3}{8}AB = \frac{3}{8} \times 2\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

円周角の定理より、$\angle BCD = \angle BAD$。$\angle ABD = \angle ABC = 45^\circ$

三角形ABDにおいて、$\frac{AD}{\sin{45^\circ}} = \frac{BD}{\sin{\angle BAD}}$

$\frac{AD}{BD} = \frac{\sin{45^\circ}}{\sin{\angle BCD}} = \frac{5}{3}$

$\sin{\angle BCD} = \frac{3}{5} \sin{45^\circ} = \frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$

三角形DBEと三角形AHEは相似。$\frac{DE}{EH} = \frac{BD}{AH} \times \frac{\sin(\angle DBE)}{\sin(\angle HAE)}$

3. 最終的な答え

13: $2\sqrt{3}$

14: $\sqrt{6}$

15: $3+\sqrt{3}$

16: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

17: $\frac{3\sqrt{2}}{10}$

18: 3/5