(1) 円 $x^2 + y^2 = 9$ と円 $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 4$ の位置関係を調べる。 (2) 中心が点 $(1, 2)$ である円Cと、円 $x^2 + y^2 = 20$ が内接するとき、円Cの方程式を求める。

幾何学位置関係内接外接円の方程式
2025/7/12

1. 問題の内容

(1) 円 x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 と円 (x+4)2+(y3)2=4(x+4)^2 + (y-3)^2 = 4 の位置関係を調べる。
(2) 中心が点 (1,2)(1, 2) である円Cと、円 x2+y2=20x^2 + y^2 = 20 が内接するとき、円Cの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、2つの円の中心間の距離 dd を求めます。
x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 の中心は (0,0)(0, 0) で、半径は r1=3r_1 = 3 です。
(x+4)2+(y3)2=4(x+4)^2 + (y-3)^2 = 4 の中心は (4,3)(-4, 3) で、半径は r2=2r_2 = 2 です。
中心間の距離 dd は、
d=(40)2+(30)2=16+9=25=5d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
半径の和は r1+r2=3+2=5r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 です。
半径の差の絶対値は r1r2=32=1|r_1 - r_2| = |3 - 2| = 1 です。
d=r1+r2d = r_1 + r_2 なので、2つの円は外接します。
(2)
円Cの中心は (1,2)(1, 2) であり、x2+y2=20x^2 + y^2 = 20 と内接します。
x2+y2=20x^2 + y^2 = 20 の中心は (0,0)(0, 0) で、半径は r=20=25r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} です。
円Cの半径を RR とします。内接する場合、中心間の距離は半径の差の絶対値に等しくなります。
中心間の距離は d=(10)2+(20)2=1+4=5d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} です。
したがって、5=25R\sqrt{5} = |2\sqrt{5} - R| となります。
R=255R = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} または R=25+5R = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} です。
R=5R = \sqrt{5} または R=35R = 3\sqrt{5} となります。
したがって、円Cの方程式は (x1)2+(y2)2=(5)2(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 または (x1)2+(y2)2=(35)2(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 となります。
(x1)2+(y2)2=5(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 または (x1)2+(y2)2=45(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 45

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は外接する。
(2) 円Cの方程式は (x1)2+(y2)2=5(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 または (x1)2+(y2)2=45(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 45

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