$\frac{\sin A}{14} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{9}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sin A}{14} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{9}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ であるから、

$a:b:c = 14:11:9$ となります。

そこで、$a=14k, b=11k, c=9k$ ($k>0$) とおきます。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

に、$a=14k, b=11k, c=9k$ を代入します。

$\cos A = \frac{(11k)^2 + (9k)^2 - (14k)^2}{2 \cdot (11k) \cdot (9k)} = \frac{121k^2 + 81k^2 - 196k^2}{198k^2} = \frac{6k^2}{198k^2} = \frac{6}{198} = \frac{1}{33}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{1}{33}$