## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 点A(-2, 2)と原点から等距離にある点Pの軌跡を求めよ。

(2) 2点A(0, 1), B(0, -2)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求めよ。

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2. 解き方の手順

### (1) 点A(-2, 2)と原点から等距離にある点Pの軌跡

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(-2, 2)と点P(x, y)の距離は、

$\sqrt{(x - (-2))^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2}$

原点(0, 0)と点P(x, y)の距離は、

$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

問題文より、これらの距離が等しいので、

$\sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+2)^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2$

$4x - 4y + 8 = 0$

$x - y + 2 = 0$

$y = x + 2$

### (2) 2点A(0, 1), B(0, -2)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(0, 1)と点P(x, y)の距離は、

$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

点B(0, -2)と点P(x, y)の距離は、

$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-2))^2} = \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$

問題文より、これらの距離の比が1:2なので、

$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} : \sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 1:2$

したがって、

$2\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$

両辺を2乗すると、

$4(x^2 + (y-1)^2) = x^2 + (y+2)^2$

$4(x^2 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$4x^2 + 4y^2 - 8y + 4 = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$3x^2 + 3y^2 - 12y = 0$

$x^2 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

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3. 最終的な答え

(1) $y = x + 2$

(2) $x^2 + (y - 2)^2 = 4$