次の2次曲線の焦点、準線、離心率を求めよ。 (1) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = -1$ (2) $x^2 + 2y^2 - 2x + 4y = 0$ (3) $y = x(1 - 2x)$

1. 問題の内容

次の2次曲線の焦点、準線、離心率を求めよ。

(1) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = -1$

(2) $x^2 + 2y^2 - 2x + 4y = 0$

(3) $y = x(1 - 2x)$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = -1$ は $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$ と書き換えられる。これは $y$ 軸を主軸とする双曲線である。

$a^2 = 9$, $b^2 = 4$ なので、$c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13$ より $c = \sqrt{13}$。

焦点は $(0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{13})$

離心率は $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

準線は $y = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{9}{\sqrt{13}} = \pm \frac{9\sqrt{13}}{13}$

(2) $x^2 + 2y^2 - 2x + 4y = 0$ を変形する。

$(x^2 - 2x) + 2(y^2 + 2y) = 0$

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + 2(y^2 + 2y + 1) - 2 = 0$

$(x - 1)^2 + 2(y + 1)^2 = 3$

$\frac{(x - 1)^2}{3} + \frac{(y + 1)^2}{\frac{3}{2}} = 1$

これは楕円であり、中心は $(1, -1)$ である。

$a^2 = 3$, $b^2 = \frac{3}{2}$ なので、$c^2 = a^2 - b^2 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ より $c = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。

焦点は $(1 \pm c, -1) = (1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}, -1)$

離心率は $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

準線は $x = 1 \pm \frac{a}{e} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1 \pm \sqrt{6}$

(3) $y = x(1 - 2x)$ は $y = x - 2x^2$ となる。

$2x^2 - x + y = 0$

これは放物線ではない。判別式を計算すると、$D = (-1)^2 - 4(2)(y) = 1 - 8y$ となり、yの値によって解の個数が変わるので、放物線でもない。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1-8y}}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

焦点: $(0, \pm \sqrt{13})$

離心率: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

準線: $y = \pm \frac{9\sqrt{13}}{13}$

(2)

焦点: $(1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}, -1)$

離心率: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

準線: $x = 1 \pm \sqrt{6}$

(3)

2次曲線ではない。