直線 $2x - 3y + 18 = 0$ に関して、点 $A(-5, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $2x - 3y + 18 = 0$ に関して、点 $A(-5, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(p, q)$ とする。

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、$M$ は直線 $2x - 3y + 18 = 0$ 上にある。また、直線 $AB$ は直線 $2x - 3y + 18 = 0$ と垂直である。

中点 $M$ の座標は $\left( \frac{-5+p}{2}, \frac{7+q}{2} \right)$ なので、これが直線 $2x - 3y + 18 = 0$ 上にあることから、

$$2\left( \frac{-5+p}{2} \right) - 3\left( \frac{7+q}{2} \right) + 18 = 0$$

$$-5+p - \frac{21+3q}{2} + 18 = 0$$

$$2(-5+p) - (21+3q) + 36 = 0$$

$$-10 + 2p - 21 - 3q + 36 = 0$$

$$2p - 3q + 5 = 0 \qquad (1)$$

直線 $AB$ の傾きは $\frac{q-7}{p+5}$ であり、直線 $2x - 3y + 18 = 0$ の傾きは $\frac{2}{3}$ である。

直線 $AB$ と直線 $2x - 3y + 18 = 0$ が垂直なので、

$$\frac{q-7}{p+5} \cdot \frac{2}{3} = -1$$

$$2(q-7) = -3(p+5)$$

$$2q - 14 = -3p - 15$$

$$3p + 2q + 1 = 0 \qquad (2)$$

(1) と (2) を連立方程式として解く。

(1) より $2p = 3q - 5$。

(2) より $3p = -2q - 1$。

(1) $\times 3$： $6p - 9q + 15 = 0$

(2) $\times 2$： $6p + 4q + 2 = 0$

引き算すると、 $-13q + 13 = 0$ より $q = 1$。

$q = 1$ を (2) に代入すると、 $3p + 2(1) + 1 = 0$ より $3p = -3$ なので $p = -1$。

よって、点 $B$ の座標は $(-1, 1)$。

3. 最終的な答え

$(-1, 1)$