三角形 OAB において、$OA = 3$、$OB = t$、$\angle AOB$ は鋭角である。点 A から直線 OB に下ろした垂線の足を C とし、$OC = 1$ である。線分 AB を 2:1 に内分する点を P とし、点 A から直線 OP に下ろした垂線の足を R とする。 (1) 内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を $t$ を用いて表す。 (2) 線分 OR の長さを $t$ を用いて表す。 (3) 線分 OB の中点を M とする。点 R が線分 MB 上にあるとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

三角形 OAB において、$OA = 3$、$OB = t$、$\angle AOB$ は鋭角である。点 A から直線 OB に下ろした垂線の足を C とし、$OC = 1$ である。線分 AB を 2:1 に内分する点を P とし、点 A から直線 OP に下ろした垂線の足を R とする。

(1) 内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を $t$ を用いて表す。

(2) 線分 OR の長さを $t$ を用いて表す。

(3) 線分 OB の中点を M とする。点 R が線分 MB 上にあるとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の計算

内積の定義より、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos{\angle AOB}$ である。

また、$\cos{\angle AOB} = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}$ である。

したがって、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3 \cdot t \cdot \frac{1}{3} = t$

(2) 線分 OR の長さの計算

点 P は線分 AB を 2:1 に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

点 R は直線 OP 上にあるので、$\vec{OR} = k\vec{OP} = \frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{2k}{3}\vec{OB}$ と表せる。

また、点 R は直線 OB 上にあるので、$\vec{OR} = l\vec{OB}$ と表せる。

よって、$\frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{2k}{3}\vec{OB} = l\vec{OB}$

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、$\frac{k}{3} = 0$ かつ $\frac{2k}{3} = l$ でなければならないが、$\frac{k}{3} = 0$ より $k = 0$ となり、$\vec{OR} = \vec{0}$ となってしまうため、これは誤り。

点 A から直線 OP に下ろした垂線の足が R であることから、$\vec{AR} \perp \vec{OP}$ である。

$\vec{AR} = \vec{OR} - \vec{OA} = l\vec{OB} - \vec{OA}$ である。

$\vec{AR} \cdot \vec{OP} = 0$ より、

$(l\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}) = 0$

$\frac{l}{3}\vec{OB} \cdot \vec{OA} + \frac{2l}{3}|\vec{OB}|^2 - \frac{1}{3}|\vec{OA}|^2 - \frac{2}{3}\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$\frac{l}{3}t + \frac{2l}{3}t^2 - \frac{1}{3}9 - \frac{2}{3}t = 0$

$lt + 2lt^2 - 9 - 2t = 0$

$l(t + 2t^2) = 9 + 2t$

$l = \frac{9 + 2t}{t + 2t^2} = \frac{9+2t}{t(1+2t)}$

したがって、$OR = |\vec{OR}| = |l\vec{OB}| = |l||\vec{OB}| = |l|t = \frac{9+2t}{1+2t}$

(3) $t$ の値の範囲を求める。

点 R が線分 MB 上にあるとき、$M = \frac{1}{2}OB$ であるから、$\frac{t}{2} \le OR \le t$ である。

$\frac{t}{2} \le \frac{9+2t}{1+2t} \le t$

まず、$\frac{t}{2} \le \frac{9+2t}{1+2t}$ より、$t(1+2t) \le 2(9+2t)$

$t + 2t^2 \le 18 + 4t$

$2t^2 - 3t - 18 \le 0$

$(2t - \alpha)(t - \beta) \le 0$

$\alpha = \frac{3 + \sqrt{9 + 144}}{4} = \frac{3 + \sqrt{153}}{4}, \beta = \frac{3 - \sqrt{153}}{4}$

$\frac{3-\sqrt{153}}{4} \le t \le \frac{3+\sqrt{153}}{4}$

$t > 0$ より $0 < t \le \frac{3+\sqrt{153}}{4} \approx 3.84$

次に、$\frac{9+2t}{1+2t} \le t$ より、$9+2t \le t(1+2t)$

$9 + 2t \le t + 2t^2$

$2t^2 - t - 9 \ge 0$

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1+72}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{4}$

$t \ge \frac{1+\sqrt{73}}{4}$ or $t \le \frac{1-\sqrt{73}}{4}$

$t > 0$ より、$t \ge \frac{1+\sqrt{73}}{4} \approx 2.39$

また、$\angle AOB$ が鋭角より、$0 < \cos\angle AOB = \frac{1}{3} < 1$

$OC = 1 < OB = t$ である必要がある。

$1 < t$

したがって、$\frac{1+\sqrt{73}}{4} \le t \le \frac{3+\sqrt{153}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = t$

(2) $OR = \frac{9+2t}{1+2t}$

(3) $\frac{1+\sqrt{73}}{4} \le t \le \frac{3+\sqrt{153}}{4}$