三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1であるとき、三角形ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1であるとき、三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いてAP:PCの比を求める。

チェバの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

よって、AP:PC = 3:4

次に、メネラウスの定理を用いて、AO:ONの比を求める。

三角形ACNと直線BOについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BN} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{15}{8} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{NO}{OA} = \frac{8}{15}$

よって、AO:ON = 15:8

次に、メネラウスの定理を用いて、CO:OMの比を求める。

三角形BCMと直線ANについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BN}{NC} \cdot \frac{CA}{AP} \cdot \frac{PO}{OB} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{AO}{ON} = 1$

$\frac{BM}{MA} \cdot \frac{AO}{ON} \cdot \frac{NC}{CB} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{AO}{ON} \cdot \frac{2}{5} = 1$

$\frac{AO}{ON} = \frac{5}{4}$

三角形ABNと直線CMについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BC}{CN} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{NO}{OA} = \frac{4}{5}$

$\frac{AO}{ON} = \frac{5}{4}$

三角形ABCと直線BOについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CN}{NB} \cdot \frac{BM}{MA} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = 1$

$\frac{AO}{ON} = \frac{5}{4}$より$AO:ON = 5:4$

三角形ABO:三角形BNO = 5:4

三角形ACO:三角形CNO = ?

面積比を考える。

$\triangle AOP = 1$

$\frac{AP}{AC} = \frac{3}{7}$

$\frac{\triangle AOP}{\triangle AOC} = \frac{AP}{AC} = \frac{3}{7}$

$\triangle AOC = \frac{7}{3} \triangle AOP = \frac{7}{3} \cdot 1 = \frac{7}{3}$

$\frac{\triangle AOC}{\triangle ABC} = \frac{AO}{AN} \cdot \frac{AC}{AC} = \frac{AO}{AN} = \frac{5}{9}$

$\triangle ABC = \frac{9}{5} \triangle AOC = \frac{9}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{5}$

AM:MB = 1:2 なので，AB = 3AM

BC:CN = 5:2 なので，BC = 5CN/2

AO:ON = 15:8

$\frac{AO}{AN} = \frac{15}{23}$

$\frac{AP}{AC} = \frac{3}{7}$

$\frac{AM}{AB} = \frac{1}{3}$

$\frac{BN}{BC} = \frac{3}{5}$

$\triangle AOC = \frac{7}{3} \triangle AOP = \frac{7}{3}$

$\frac{AM}{AB} \cdot \frac{BN}{BC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

$\triangle ABC = 20$

3. 最終的な答え

20