三角形ABCにおいて、$AB = 6$, $CA = 5$, 面積が$6\sqrt{6}$である。 (1) $\sin \angle BAC$を求める。 (2) $BC$の長さと$\cos \angle ABC$を求める。 (3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。$OD$の長さ、$AD$の長さ、さらに、線分CAの中点をMとすると、$\frac{OD}{DM}$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 6$, $CA = 5$, 面積が$6\sqrt{6}$である。

(1) $\sin \angle BAC$を求める。

(2) $BC$の長さと$\cos \angle ABC$を求める。

(3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。$OD$の長さ、$AD$の長さ、さらに、線分CAの中点をMとすると、$\frac{OD}{DM}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle BAC$ を求める。

三角形の面積の公式より、$\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = 6\sqrt{6}$。

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAC = 6\sqrt{6}$。

$15 \sin \angle BAC = 6\sqrt{6}$。

$\sin \angle BAC = \frac{6\sqrt{6}}{15} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$。

(2) $BC$と$\cos \angle ABC$を求める。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$。

$\cos^2 \angle BAC + \sin^2 \angle BAC = 1$より、$\cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$。

$\angle BAC$は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \frac{1}{5}$。

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 36 + 25 - 12 = 49$。

$BC = 7$。

余弦定理より、$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC} = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$。

(3) $OD$, $AD$, $\frac{OD}{DM}$を求める。

外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$。

$\sin \angle ABC = \sqrt{1 - (\frac{5}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$。

$2R = \frac{5}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{35}{2\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{12}$。

$R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$。

したがって、$OD = R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$。

$AM = MC = \frac{5}{2}$。

$DM = DO - MO$。$OM = \sqrt{R^2 - AM^2}$, $AO=R$. $OM \perp AC$。また、三角形OCAは二等辺三角形だから。

$CA$の中点を$M$とおくと、$DM \perp CA$。点$D$は$CA$の垂直二等分線上にあるので、$AD = CD$。

円周角の定理より、$\angle ABC = \angle ADC$。

$\angle DAC = \angle DBC$

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos\angle ACD$, $AD = CD$.

$AD^2 = 25+AD^2 - 10AD\cos \angle ACD$。

$AD = \frac{5\sqrt{7}}{4}$

$OD = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$OM = \sqrt{(\frac{35\sqrt{6}}{24})^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{5^2}{2^2}} = \sqrt{\frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{5^2 \cdot 144}{2^2 \cdot 144}} = \frac{25\sqrt{6}}{24}$.

$DM = \frac{R -OM}{2}= \frac{24}{2\sqrt{6}}$.

円周角の定理から$\angle BAC = \angle BDC$.

$\frac{OD}{DM} = \frac{7}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ (ウ)

(2) $BC = 7$ (エ), $\cos \angle ABC = \frac{5}{7}$ (イ)

(3) $OD = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ (ウ), $AD = \frac{5\sqrt{7}}{4}$ (イ), $\frac{OD}{DM} = \frac{7}{12}$ (イ)