三角形ABCにおいて、面積が$6\sqrt{6}$、AB=6、CA=5である。 (1) $\sin{\angle BAC}$を求める。 (2) BCの長さと、$\cos{\angle ABC}$を求める。 (3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。このとき、OD, ADの長さを求める。さらに、線分CAの中点をMとするとき、$\frac{OD}{DM}$を求める。

はい、この問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、面積が$6\sqrt{6}$、AB=6、CA=5である。

(1) $\sin{\angle BAC}$を求める。

(2) BCの長さと、$\cos{\angle ABC}$を求める。

(3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。このとき、OD, ADの長さを求める。さらに、線分CAの中点をMとするとき、$\frac{OD}{DM}$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の面積の公式より、$\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = 6\sqrt{6}$が成り立つ。

$AB=6, AC=5$を代入すると、

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin{\angle BAC} = 6\sqrt{6}$

$15 \cdot \sin{\angle BAC} = 6\sqrt{6}$

$\sin{\angle BAC} = \frac{6\sqrt{6}}{15} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$\sin^2{\angle BAC} + \cos^2{\angle BAC} = 1$なので、

$\cos^2{\angle BAC} = 1 - \sin^2{\angle BAC} = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

$\angle BAC$は鋭角なので、$\cos{\angle BAC} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 36 + 25 - 12 = 49$

$BC = \sqrt{49} = 7$

再び余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$5^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos{\angle ABC}$

$25 = 36 + 49 - 84 \cdot \cos{\angle ABC}$

$84 \cdot \cos{\angle ABC} = 36 + 49 - 25 = 60$

$\cos{\angle ABC} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(3)

Oは外接円の中心なので、$OD = OA = OB = OC$。

よって、$OD = OA$。

外接円の半径をRとすると、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = 2R$

$R = \frac{7 \cdot 5}{2 \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$OD = R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

ADの長さについて、$OA=OD$より、三角形OADは二等辺三角形。MはCAの中点なので、$OM \perp CA$。ODは線分CAの垂直二等分線上にあり、Dは弧CA上にあるので、Dは三角形ABCの外接円上にあります。角CAD = 角CBDなので、角CAD=θとおくと、角COD=2θ。また、角CAM=90-θとなる。

したがって、角AOD=2角ACD。

ここで、角ACD=角ABDなので、角AOD=2角ABD。

四角形ABCDは円に内接するので、角ACD=180度-角ABD。

角OAD=角ODAなので、三角形OADについて、2角OAD+角AOD=180度。

2角OAD+2角ACD=180度。

角OAD+角ACD=90度。

ここで、方べきの定理より、$AM \cdot MC = DM \cdot MD$

$AM = MC = \frac{5}{2}$

$AM \cdot MC = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{35\sqrt{6}}{24})^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{7350}{576} - \frac{3600}{576}} = \sqrt{\frac{3750}{576}} = \sqrt{\frac{625}{96}} = \frac{25}{4\sqrt{6}} = \frac{25\sqrt{6}}{24}$

$DM = OD - OM = \frac{35\sqrt{6}}{24} - \frac{25\sqrt{6}}{24} = \frac{10\sqrt{6}}{24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

$AD = \sqrt{AM^2 + DM^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{6}}{12})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 6}{144}} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{24}} = \sqrt{\frac{150+25}{24}} = \sqrt{\frac{175}{24}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 7}{24}} = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{42}}{12}$

外心の性質より、$OD=R=\frac{35\sqrt{6}}{24}$

また、$DM=OM-OD$とあるはずだが、図より、$OD=OM+DM$であるから、$DM = OD-OM=\frac{35\sqrt{6}}{24}-\frac{25\sqrt{6}}{24}=\frac{10\sqrt{6}}{24}=\frac{5\sqrt{6}}{12}$

$\frac{OD}{DM} = \frac{35\sqrt{6}/24}{5\sqrt{6}/12} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \times \frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{35}{24} \times \frac{12}{5} = \frac{7}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

13: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

14: 7

15: $\frac{5}{7}$

16: $\frac{35\sqrt{6}}{24}$

17: $\frac{5\sqrt{7}}{4}$

18: $\frac{7}{2}$