次の2直線を含む平面の方程式を求める問題です。 直線1: $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-2}{4}$ 直線2: $x = 1-y = z-2$

1. 問題の内容

次の2直線を含む平面の方程式を求める問題です。

直線1: $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-2}{4}$

直線2: $x = 1-y = z-2$

2. 解き方の手順

まず、直線1の方向ベクトル $\vec{v_1}$ と通る点 $A$ を求めます。

$\vec{v_1} = (2, 3, 4)$

$A(0, 1, 2)$

次に、直線2の方向ベクトル $\vec{v_2}$ と通る点 $B$ を求めます。

$x = 1-y = z-2 = t$ とおくと、

$x = t$

$y = 1-t$

$z = t+2$

よって、$\vec{v_2} = (1, -1, 1)$

$B(0, 1, 2)$

ここで、点Aと点Bが一致していることがわかります。2直線は交わっています。

2つのベクトル $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ が張る平面の方程式を求めます。

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ で求められます。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (2, 3, 4) \times (1, -1, 1) = (3\cdot1 - 4\cdot(-1), 4\cdot1 - 2\cdot1, 2\cdot(-1) - 3\cdot1) = (3+4, 4-2, -2-3) = (7, 2, -5)$

平面の方程式は、$\vec{n} \cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0) = 0$ で表されます。

点A(0, 1, 2) を通るので、

$7(x-0) + 2(y-1) -5(z-2) = 0$

$7x + 2y - 2 - 5z + 10 = 0$

$7x + 2y - 5z + 8 = 0$

3. 最終的な答え

$7x + 2y - 5z + 8 = 0$