三角形ABCにおいて、AB=6, CA=5, 面積が$6\sqrt{6}$である。 (1) $\sin \angle BAC$ を求める。 (2) BCを求め、$\cos \angle ABC$を求める。 (3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。このとき、OD, AD, $\frac{OD}{DM}$を求める。ただし、Mは線分CAの中点とする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=6, CA=5, 面積が$6\sqrt{6}$である。

(1) $\sin \angle BAC$ を求める。

(2) BCを求め、$\cos \angle ABC$を求める。

(3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。このとき、OD, AD, $\frac{OD}{DM}$を求める。ただし、Mは線分CAの中点とする。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAC$

$\sin \angle BAC = \frac{6\sqrt{6}}{15} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

$\cos \angle BAC = \pm \frac{1}{5}$

$\angle BAC$は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \frac{1}{5}$

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 36 + 25 - 12 = 49$

$BC = 7$

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$5^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos \angle ABC$

$25 = 36 + 49 - 84 \cos \angle ABC$

$84 \cos \angle ABC = 60$

$\cos \angle ABC = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(3) Oは外接円の中心なので、$OD = OA = OC = R$ （外接円の半径）

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = 2R$

$R = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$OD = R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

CAの中点がMなので、$AM = MC = \frac{5}{2}$

垂直二等分線上にある点Dなので、$AD = CD$。円周角の定理より、$\angle ABC = \angle ADC$

$\cos \angle ADC = \cos \angle ABC = \frac{5}{7}$

余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$5^2 = AD^2 + AD^2 - 2AD^2 \cdot \frac{5}{7}$

$25 = 2AD^2 - \frac{10}{7} AD^2 = \frac{4}{7} AD^2$

$AD^2 = \frac{175}{4}$

$AD = \frac{5\sqrt{7}}{2}$

OMはCAの垂直二等分線上にあるので、$\triangle OMA$は直角三角形。

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = (\frac{35\sqrt{6}}{24})^2 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{25}{4} = \frac{3675}{576} - \frac{3600}{576} = \frac{75}{576} = \frac{25}{192}$

$OM = \frac{5}{8\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{24}$

$DM = OD - OM = \frac{35\sqrt{6}}{24} - ?$ これは違う。

$OD = R$

$OM = \sqrt{R^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{35\sqrt{6}}{24})^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{16}$

$DM = OD - OM = R - OM = \frac{35\sqrt{6}}{24} - \frac{5\sqrt{6}}{16} = \frac{70\sqrt{6} - 15\sqrt{6}}{48} = \frac{55\sqrt{6}}{48}$

$\frac{OD}{DM} = \frac{\frac{35\sqrt{6}}{24}}{\frac{55\sqrt{6}}{48}} = \frac{35 \cdot 48}{24 \cdot 55} = \frac{35 \cdot 2}{55} = \frac{70}{55} = \frac{14}{11}$

3. 最終的な答え

13: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

14: 7

15: $\frac{5}{7}$

16: $\frac{35\sqrt{6}}{24}$

17: $\frac{5\sqrt{7}}{2}$

18: $\frac{14}{11}$