$\triangle OAB$ において、$OA = 2$, $OB = 3$, $\cos \angle AOB = -\frac{1}{6}$ である。辺 $OA$ の中点を $M$, 辺 $AB$ の中点を $N$, 辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $C$ とする。また、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。 (1) $\vec{OC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。 (2) 直線 $MN$ 上に点 $P$ を、$\vec{MP} = k\vec{MN}$ ($k$ は実数) を満たすようにとる。$\vec{CP} \perp \vec{AB}$ であるとき、$k$ の値を求めよ。 (3) (2)のとき、直線 $AP$ と直線 $OB$ の交点を $R$ とする。$\vec{OR}$ を $\vec{b}$ を用いて表せ。また、$\cos \angle BRN$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 2$, $OB = 3$, $\cos \angle AOB = -\frac{1}{6}$ である。辺 $OA$ の中点を $M$, 辺 $AB$ の中点を $N$, 辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $C$ とする。また、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

(1) $\vec{OC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

(2) 直線 $MN$ 上に点 $P$ を、$\vec{MP} = k\vec{MN}$ ($k$ は実数) を満たすようにとる。$\vec{CP} \perp \vec{AB}$ であるとき、$k$ の値を求めよ。

(3) (2)のとき、直線 $AP$ と直線 $OB$ の交点を $R$ とする。$\vec{OR}$ を $\vec{b}$ を用いて表せ。また、$\cos \angle BRN$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $C$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{2 + 1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ について、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \angle AOB = 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{6}) = -1$

(2)

点 $M$ は辺 $OA$ の中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

点 $N$ は辺 $AB$ の中点なので、$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{MP} = k\vec{MN} = \frac{k}{2}\vec{b}$

$\vec{OP} = \vec{OM} + \vec{MP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}$

$\vec{CP} = \vec{OP} - \vec{OC} = (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}) - (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})\vec{a} + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\vec{b}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{CP} \perp \vec{AB}$ より $\vec{CP} \cdot \vec{AB} = 0$

$(\frac{1}{6}\vec{a} + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$\frac{1}{6}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{1}{6}|\vec{a}|^2 + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})|\vec{b}|^2 - (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$\frac{1}{6}(-1) - \frac{1}{6}(2^2) + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})(3^2) - (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})(-1) = 0$

$-\frac{1}{6} - \frac{4}{6} + 9(\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) = 0$

$-\frac{5}{6} + 10(\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) = 0$

$10(\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{5}{6}$

$\frac{k}{2} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$

$\frac{k}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

(3)

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3/2}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

直線 $AP$ 上にあるので、$\vec{AR} = l\vec{AP}$ となる実数 $l$ が存在する。

$\vec{OR} = \vec{OA} + \vec{AR} = \vec{OA} + l(\vec{OP} - \vec{OA}) = \vec{a} + l(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + l(-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) = (1 - \frac{l}{2})\vec{a} + \frac{3l}{4}\vec{b}$

直線 $OB$ 上にあるので、$\vec{OR} = m\vec{b}$ となる実数 $m$ が存在する。

$(1 - \frac{l}{2})\vec{a} + \frac{3l}{4}\vec{b} = m\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、$1 - \frac{l}{2} = 0$ かつ $\frac{3l}{4} = m$

$l = 2$ より $m = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{3}{2}$

したがって、$\vec{OR} = \frac{3}{2}\vec{b}$

$\vec{BR} = \vec{OR} - \vec{OB} = \frac{3}{2}\vec{b} - \vec{b} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{RN} = \vec{ON} - \vec{OR} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{3}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{BR} \cdot \vec{RN} = \frac{1}{2}\vec{b} \cdot (\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 = \frac{1}{4}(-1) - \frac{1}{2}(3^2) = -\frac{1}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{19}{4}$

$|\vec{BR}| = |\frac{1}{2}\vec{b}| = \frac{1}{2}|\vec{b}| = \frac{3}{2}$

$|\vec{RN}| = \sqrt{(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b})} = \sqrt{\frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2} = \sqrt{\frac{1}{4}(4) - (-1) + (9)} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$

$\cos \angle BRN = \frac{\vec{BR} \cdot \vec{RN}}{|\vec{BR}| |\vec{RN}|} = \frac{-\frac{19}{4}}{\frac{3}{2}\sqrt{11}} = \frac{-19}{4} \cdot \frac{2}{3\sqrt{11}} = \frac{-19}{6\sqrt{11}} = -\frac{19\sqrt{11}}{66}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

(2) $k = \frac{3}{2}$

(3) $\vec{OR} = \frac{3}{2}\vec{b}$, $\cos \angle BRN = -\frac{19\sqrt{11}}{66}$