三角形ABCの面積が $6\sqrt{6}$ 、AB=6、CA=5であるとき、以下の値を求める問題。 (1) $\sin \angle BAC$ (2) BC、$\cos \angle ABC$ (3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。このとき、OD、AD、OD/DMを求める。ただし、Mは線分CAの中点。

1. 問題の内容

三角形ABCの面積が $6\sqrt{6}$ 、AB=6、CA=5であるとき、以下の値を求める問題。

(1) $\sin \angle BAC$

(2) BC、$\cos \angle ABC$

(3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。このとき、OD、AD、OD/DMを求める。ただし、Mは線分CAの中点。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAC$

$\sin \angle BAC = \frac{6\sqrt{6}}{15} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$\cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 36 + 25 - 12 = 49$

$BC = 7$

再び余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$5^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos \angle ABC$

$25 = 36 + 49 - 84 \cos \angle ABC$

$84 \cos \angle ABC = 60$

$\cos \angle ABC = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(3) Oは外心なのでODは外接円の半径Rに等しい。正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\frac{5}{\frac{\sqrt{24}}{7}} = 2R$

$R = \frac{5 \cdot 7}{2\sqrt{24}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

よって$OD = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

CAの中点Mについて、$CM = \frac{5}{2}$

$\angle CAD = \angle CBD$ (円周角の定理)

$CD = AD = x$とおく。

方べきの定理より$AD^2 = AC \cdot AN$, ただし、ANはCから垂直二等分線への距離

$\angle AOC = 2 \angle ABC$, よって$\angle MAC = \angle DAC$

$AD = CD$なので、$\triangle ADC$は二等辺三角形になる。

$OD = R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$OM^2 = R^2 - AM^2$

$OM = \sqrt{(\frac{35\sqrt{6}}{24})^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{1225}{96} - \frac{600}{96}} = \sqrt{\frac{625}{96}} = \frac{25}{4\sqrt{6}} = \frac{25\sqrt{6}}{24}$

$DM = OD - OM = \frac{35\sqrt{6}}{24} - \frac{25\sqrt{6}}{24} = \frac{10\sqrt{6}}{24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

$\frac{OD}{DM} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \cdot \frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{35 \cdot 12}{24 \cdot 5} = \frac{7}{2}$

$AD = \frac{5\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

13: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

14: 7

15: $\frac{5}{7}$

16: $\frac{35\sqrt{6}}{24}$

17: $\frac{5\sqrt{7}}{2}$

18: $\frac{7}{2}$