三角形ABCにおいて、AB=6, CA=5, 面積が$6\sqrt{6}$である。 (1) $\sin \angle BAC$を求める。 (2) BCの長さを求め、$\cos \angle ABC$を求める。 (3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。OD, ADの長さを求め、さらに線分CAの中点をMとすると、$\frac{OD}{DM}$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=6, CA=5, 面積が$6\sqrt{6}$である。

(1) $\sin \angle BAC$を求める。

(2) BCの長さを求め、$\cos \angle ABC$を求める。

(3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。OD, ADの長さを求め、さらに線分CAの中点をMとすると、$\frac{OD}{DM}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$より、

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAC$

$\sin \angle BAC = \frac{12\sqrt{6}}{30} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) 余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cdot \cos \angle BAC$

$\cos^2 \angle BAC + \sin^2 \angle BAC = 1$より、$\cos^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

$\angle BAC$は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \frac{1}{5}$

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 36 + 25 - 12 = 49$

$BC = 7$

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$5^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos \angle ABC$

$25 = 36 + 49 - 84 \cos \angle ABC$

$84 \cos \angle ABC = 60$

$\cos \angle ABC = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(3) 外接円の半径をRとすると、正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$より、$\sin^2 \angle ABC = 1 - \left(\frac{5}{7}\right)^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$2R = \frac{5}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{35}{2\sqrt{6}}$

$R = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$OD = R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$\angle DAC = \angle DBC$

$\angle DCA = \angle DBA$

$CA$の垂直二等分線上に$D$があるので、$AD=CD$

$\angle ADC = \angle ABC = \arccos\left(\frac{5}{7}\right)$

$\triangle ADC$は二等辺三角形なので、$\angle DAC = \angle DCA = \frac{180^{\circ} - \angle ADC}{2} = \frac{180^{\circ} - \arccos\left(\frac{5}{7}\right)}{2}$

$\angle AOC = 2\angle ABC$

$AD=CD$なので、$\triangle ACD$は二等辺三角形。

$AD = 2R \sin{\angle ACD}$

$\angle ACD = \angle ACB$

$\angle ACB = 180 - \angle BAC - \angle ABC$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$

$\sin \angle ACB = \frac{AB}{2R} = \frac{6}{2(\frac{35\sqrt{6}}{24})} = \frac{6 \cdot 24}{35\sqrt{6}} = \frac{144}{35\sqrt{6}} = \frac{144\sqrt{6}}{35 \cdot 6} = \frac{24\sqrt{6}}{35}$

$\cos \angle ACB = \dots$

$AM = MC = \frac{5}{2}$

$\triangle OAC$は二等辺三角形なので、$OM \perp CA$

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\frac{35\sqrt{6}}{24}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{1225 \cdot 6}{576} - \frac{25 \cdot 144}{576}} = \sqrt{\frac{7350 - 3600}{576}} = \sqrt{\frac{3750}{576}} = \sqrt{\frac{625}{96}} = \frac{25}{4\sqrt{6}} = \frac{25\sqrt{6}}{24}$

$DM = DO + OM$ (OはACより上にある場合)

$\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM}$

$DM = DO-OM = \frac{35\sqrt{6}}{24} - \frac{25\sqrt{6}}{24} = \frac{10\sqrt{6}}{24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

$\frac{OD}{DM} = \frac{\frac{35\sqrt{6}}{24}}{\frac{5\sqrt{6}}{12}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \cdot \frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{35 \cdot 12}{24 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$

$\angle CAD=\angle CBD$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $BC = 7$, $\cos \angle ABC = \frac{5}{7}$

(3) $OD = \frac{35\sqrt{6}}{24}$, $AD = \frac{5\sqrt{7}}{2}$, $\frac{OD}{DM} = \frac{7}{2}$

解答番号13: ウ

解答番号14: エ

解答番号15: イ

解答番号16: イ

解答番号17: ア

解答番号18: ウ