極方程式 $r = \frac{1}{3\cos\theta}$ の表す曲線を C とする。$3r = r\cos\theta + \boxed{1}$ より、曲線 C を直交座標 $(x, y)$ についての方程式で表し、整理して楕円の標準形を求める。そして、曲線 C 上の点 P について、$AP + BP = \boxed{\frac{12}{13}}$ が成り立つときの A, B の座標を求める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3\cos\theta}$ の表す曲線を C とする。$3r = r\cos\theta + \boxed{1}$ より、曲線 C を直交座標 $(x, y)$ についての方程式で表し、整理して楕円の標準形を求める。そして、曲線 C 上の点 P について、$AP + BP = \boxed{\frac{12}{13}}$ が成り立つときの A, B の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、$3r = r\cos\theta + 1$ より、直交座標に変換する。$r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $x = r\cos\theta$ なので、

$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1$

両辺を2乗して、

$9(x^2 + y^2) = (x+1)^2$

$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$

$8x^2 - 2x + 9y^2 - 1 = 0$

よって、$\boxed{2}=8$, $\boxed{3}=9$, $\boxed{4}=2$, $\boxed{5}=1$。

次に、この式を整理して楕円の標準形にする。

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 - 8(\frac{1}{64}) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

$\frac{8(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{8}} + \frac{9y^2}{\frac{9}{8}} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{(\frac{3}{8})^2} + \frac{y^2}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^2} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{(\frac{3}{8})^2} + \frac{y^2}{(\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = 1$

よって、$\boxed{6}=1$, $\boxed{7}=8$, $\boxed{8}=3$, $\boxed{9}=1$, $\boxed{10}=\sqrt{2}$, $\boxed{11}=1$

この楕円の長軸の長さは $2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$. よって、$AP + BP = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{4}$.

$AP + BP$の値が$\frac{12}{13}$と異なっている。

直交座標に変換すると

$r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$

$r(3 - \cos\theta) = 1$

$3r - r\cos\theta = 1$

$3r = r\cos\theta + 1$

$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1$

$9(x^2 + y^2) = x^2 + 2x + 1$

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{8} + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = \frac{9}{8}$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{(\frac{3}{8})^2} + \frac{y^2}{(\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = 1$

長軸は $\frac{3}{4}$。

よって、$AP + BP = \frac{3}{4} = \frac{12}{16}$ なので、$\boxed{12}=3$, $\boxed{13}=4$

$a = \frac{3}{8}$, $b = \frac{\sqrt{2}}{4}$ なので、$c^2 = a^2 - b^2 = \frac{9}{64} - \frac{2}{16} = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$. $c = \frac{1}{8}$

中心は $(\frac{1}{8}, 0)$ なので、焦点は $(\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$. よって、$(\frac{1}{4}, 0)$ と $(0, 0)$.

よって、A, B の座標は $(\frac{1}{4}, 0)$ と $(0, 0)$.

3. 最終的な答え

$\boxed{1} = 1$, $\boxed{2} = 8$, $\boxed{3} = 9$, $\boxed{4} = 2$, $\boxed{5} = 1$, $\boxed{6} = 1$, $\boxed{7} = 8$, $\boxed{8} = 3$, $\boxed{9} = 1$, $\boxed{10} = \sqrt{2}$, $\boxed{11} = 1$, $\boxed{12} = 3$, $\boxed{13} = 4$, $\boxed{14} = 1$, $\boxed{15} = 4$, $\boxed{16} = 0$, $\boxed{17} = 0$, $\boxed{18} = 0$

A($\frac{1}{4}$, 0), B(0, 0)