点Iが三角形ABCの内心であるとき、角$\alpha$と角$\beta$の大きさを求める問題です。三角形ABCにおいて、角Bは$42^\circ$、角Cは$27^\circ$と与えられています。

1. 問題の内容

点Iが三角形ABCの内心であるとき、角$\alpha$と角$\beta$の大きさを求める問題です。三角形ABCにおいて、角Bは$42^\circ$、角Cは$27^\circ$と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であるため、角Aを求めることができます。

$角A + 角B + 角C = 180^\circ$

$角A + 42^\circ + 27^\circ = 180^\circ$

$角A = 180^\circ - 42^\circ - 27^\circ = 111^\circ$

したがって、$角A = 111^\circ$です。

次に、点Iは三角形ABCの内心であるため、角AIと辺BCの中点を結ぶ線は、角Aの二等分線になります。同様に、角BIと辺ACの中点を結ぶ線は角Bの二等分線、角CIと辺ABの中点を結ぶ線は角Cの二等分線になります。

したがって、$角ABI = 角CBI = 42^\circ / 2 = 21^\circ$

同様に、$角ACI = 角BCI = 27^\circ / 2 = 13.5^\circ$

また、$角BAI = 角CAI = 111^\circ / 2 = 55.5^\circ$

次に、三角形ABIの内角の和を考えると、

$角BAI + 角ABI + 角AIB = 180^\circ$

$55.5^\circ + 21^\circ + 角AIB = 180^\circ$

$角AIB = 180^\circ - 55.5^\circ - 21^\circ = 103.5^\circ$

したがって、$\alpha = 角AIB = 103.5^\circ$

次に、三角形ABCの内角の和から、

$角A + 角B + 角C = 180^\circ$

$角A = 180^\circ - (42^\circ + 27^\circ) = 111^\circ$

$\beta = 角BAC = 111^\circ$です。

3. 最終的な答え

$\alpha = 103.5^\circ$

$\beta = 111^\circ$