2つの直線 $l: y = -x + 8$ と $m: y = \frac{1}{2}x + 10$ があります。点Pは直線m上を$-20 \le x \le -\frac{4}{3}$ の範囲で動きます。長方形PQRSが作られるとき、以下の問いに答えます。 (1) 点Pのx座標が-4のとき、点Sの座標を求めます。 (2) 四角形PQRSが正方形になるとき、点Pの座標を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l: y = -x + 8$ と $m: y = \frac{1}{2}x + 10$ があります。点Pは直線m上を$-20 \le x \le -\frac{4}{3}$ の範囲で動きます。長方形PQRSが作られるとき、以下の問いに答えます。

(1) 点Pのx座標が-4のとき、点Sの座標を求めます。

(2) 四角形PQRSが正方形になるとき、点Pの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pのx座標が-4のとき、点Pのy座標は $y = \frac{1}{2}(-4) + 10 = -2 + 10 = 8$ となります。したがって、点Pの座標は(-4, 8)です。

点Sは直線l上にあり、点Pと同じy座標を持ちます。点Sのy座標は8です。点Sのx座標を求めるために、直線lの式にy=8を代入します。

$8 = -x + 8$

$x = 0$

したがって、点Sの座標は(0, 8)です。

(2) 四角形PQRSが正方形になる場合を考えます。点Pのx座標をpとすると、点Pのy座標は$\frac{1}{2}p + 10$です。したがって、点Pの座標は$(p, \frac{1}{2}p + 10)$です。

点Sは直線l上にあり、y座標は点Pと同じ$\frac{1}{2}p + 10$です。点Sのx座標をsとすると、$\frac{1}{2}p + 10 = -s + 8$が成り立ちます。したがって、$s = -\frac{1}{2}p - 2$です。点Sの座標は $(-\frac{1}{2}p - 2, \frac{1}{2}p + 10)$ です。

正方形なので、辺の長さは等しくなります。辺PSの長さは、$s - p = -\frac{1}{2}p - 2 - p = -\frac{3}{2}p - 2$です。辺PQの長さは、点Pと点Qのy座標の差です。点Qのy座標は0なので、PQの長さは$\frac{1}{2}p + 10$です。

したがって、$-\frac{3}{2}p - 2 = \frac{1}{2}p + 10$

$-3p - 4 = p + 20$

$-4p = 24$

$p = -6$

点Pの座標は$(-6, \frac{1}{2}(-6) + 10) = (-6, -3 + 10) = (-6, 7)$です。

3. 最終的な答え

(1) 点Sの座標は(0, 8)です。

(2) 点Pの座標は(-6, 7)です。