中心が直線 $y=2x$ 上にあり、原点 $(0,0)$ と点 $(3,1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が直線 $y=2x$ 上にあり、原点 $(0,0)$ と点 $(3,1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心の座標を $(a, 2a)$ と置きます。なぜなら、円の中心は直線 $y=2x$ 上にあるからです。

円の方程式は、一般的に $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ で表されます。この問題の場合、$b = 2a$ なので、

$(x-a)^2 + (y-2a)^2 = r^2$

と書けます。

円は原点 $(0,0)$ を通るので、この座標を円の方程式に代入すると、

$(0-a)^2 + (0-2a)^2 = r^2$

$a^2 + 4a^2 = r^2$

$5a^2 = r^2$

また、円は点 $(3,1)$ を通るので、この座標を円の方程式に代入すると、

$(3-a)^2 + (1-2a)^2 = r^2$

$9 - 6a + a^2 + 1 - 4a + 4a^2 = r^2$

$5a^2 - 10a + 10 = r^2$

$5a^2 = r^2$ を $5a^2 - 10a + 10 = r^2$ に代入すると、

$5a^2 - 10a + 10 = 5a^2$

$-10a + 10 = 0$

$10a = 10$

$a = 1$

したがって、円の中心の座標は $(1, 2)$ であり、$r^2 = 5a^2 = 5(1)^2 = 5$ です。

円の方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ となります。

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$