円 $x^2+y^2+4x-2y-1=0$ について、以下の問いに答える。 (1) 円の中心と半径を求める。 (2) 直線 $4x+3y-5=0$ が円によって切り取られてできる線分の長さを求める。

1. 問題の内容

円 $x^2+y^2+4x-2y-1=0$ について、以下の問いに答える。

(1) 円の中心と半径を求める。

(2) 直線 $4x+3y-5=0$ が円によって切り取られてできる線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2+4x+y^2-2y-1=0$

$(x^2+4x)+(y^2-2y)-1=0$

$(x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)-1-4-1=0$

$(x+2)^2+(y-1)^2=6$

よって、中心は $(-2, 1)$、半径は $\sqrt{6}$ である。

(2) 円の中心から直線までの距離 $d$ を求める。

直線 $ax+by+c=0$ と点 $(x_0, y_0)$ の距離は

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

である。この公式を用いる。

$d = \frac{|4(-2)+3(1)-5|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|-8+3-5|}{\sqrt{16+9}} = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

次に、切り取られる線分の長さを $2l$ とすると、三平方の定理より

$l^2+d^2=r^2$

$l^2 = r^2 - d^2$

$l = \sqrt{r^2 - d^2}$

ここで $r=\sqrt{6}$ であり $d=2$ であるから、

$l = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \sqrt{6-4} = \sqrt{2}$

したがって、切り取られる線分の長さ $2l = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-2, 1)$、半径: $\sqrt{6}$

(2) $2\sqrt{2}$