与えられた線形代数の問題群の中から、Ex.4の問題を解く。Ex.4は、2点A(1, -1), B(-2, 3)を通る直線の方程式を求め、さらに、この直線と点C(1, 1)との距離を求める問題である。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた線形代数の問題群の中から、Ex.4の問題を解く。Ex.4は、2点A(1, -1), B(-2, 3)を通る直線の方程式を求め、さらに、この直線と点C(1, 1)との距離を求める問題である。

2. 解き方の手順

**ステップ1: 直線の方程式を求める**

2点A(1, -1), B(-2, 3)を通る直線の方向ベクトル $\vec{d}$ は、

$\vec{d} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

直線上の任意の点P(x, y)について、$\vec{AP}$ は $\vec{d}$ と平行である。つまり、$\vec{AP} = t \vec{d}$ となる実数tが存在する。

$\vec{OP} - \vec{OA} = t \vec{d}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

これをパラメータ表示すると、

$x = 1 - 3t$

$y = -1 + 4t$

tを消去するために、各式からtを解く。

$t = \frac{1-x}{3}$

$t = \frac{y+1}{4}$

$\frac{1-x}{3} = \frac{y+1}{4}$

$4(1-x) = 3(y+1)$

$4 - 4x = 3y + 3$

$4x + 3y - 1 = 0$

**ステップ2: 点と直線の距離を求める**

直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x_0, y_0)$ の距離dは、以下の公式で与えられる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の問題では、直線は $4x + 3y - 1 = 0$ であり、点はC(1, 1)である。

$d = \frac{|4(1) + 3(1) - 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|4 + 3 - 1|}{\sqrt{16 + 9}}$

$d = \frac{|6|}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

直線の方程式: $4x + 3y - 1 = 0$

直線と点C(1, 1)との距離: $\frac{6}{5}$