直線 $3x - 2y - 6 = 0$ を $l$ とするとき、直線 $l$ に関して点 $A(-1, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $3x - 2y - 6 = 0$ を $l$ とするとき、直線 $l$ に関して点 $A(-1, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(p, q)$ とおく。

$A$ と $B$ の中点 $M$ は、直線 $l$ 上にある。

$M$ の座標は $(\frac{-1+p}{2}, \frac{2+q}{2})$ である。

これが直線 $l$ 上にあるので、

$3(\frac{-1+p}{2}) - 2(\frac{2+q}{2}) - 6 = 0$

これを整理すると、

$3(-1+p) - 2(2+q) - 12 = 0$

$-3 + 3p - 4 - 2q - 12 = 0$

$3p - 2q = 19$ ...(1)

また、直線 $AB$ は直線 $l$ と垂直である。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{q - 2}{p - (-1)} = \frac{q - 2}{p + 1}$ である。

直線 $l$ の傾きは $\frac{3}{2}$ である。

垂直条件より、

$\frac{q - 2}{p + 1} \times \frac{3}{2} = -1$

$3(q - 2) = -2(p + 1)$

$3q - 6 = -2p - 2$

$2p + 3q = 4$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)×3 + (2)×2 より

$9p - 6q + 4p + 6q = 57 + 8$

$13p = 65$

$p = 5$

(2)に代入して、

$2(5) + 3q = 4$

$10 + 3q = 4$

$3q = -6$

$q = -2$

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(5, -2)$