直角三角形ABCがあり、点Pは点Aから出発し、秒速2cmで辺AB、BC上を移動します。点PがAを出発してからx秒後の三角形APCの面積をy cm^2とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 点PがAを出発してからCに着くまでのxとyの関係をグラフに表しなさい。 (2) $y=18$となるxの値をすべて求めなさい。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、点Pは点Aから出発し、秒速2cmで辺AB、BC上を移動します。点PがAを出発してからx秒後の三角形APCの面積をy cm^2とするとき、以下の問いに答えます。

(1) 点PがAを出発してからCに着くまでのxとyの関係をグラフに表しなさい。

(2) $y=18$となるxの値をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) グラフ作成

まず、点Pが辺AB上にあるときを考えます。

点PがAを出発してからx秒後のAPの長さは$2x$ cmです。

このとき、三角形APCの面積yは、底辺をAP、高さをBCと見なすと、

$y = \frac{1}{2} \times 2x \times 10 = 10x$となります。

ただし、点Pが点Bに到達するまでの時間を考えます。

ABの長さは6cmなので、かかる時間は$6/2 = 3$秒です。

したがって、$0 \leq x \leq 3$のとき、$y = 10x$となります。

$x=3$のとき、$y=10 \times 3 = 30$です。

次に、点Pが辺BC上にあるときを考えます。

点PがAを出発してからx秒後のPはBC上にあり、BからPCの長さは、$2(x-3)$ cmです。

このとき、三角形APCの面積yは、底辺をPC、高さをABと見なすと、

$y = \frac{1}{2} \times (10 - 2(x-3)) \times 6 = 3(10 - 2x + 6) = 3(16 - 2x) = 48 - 6x$となります。

点Pが点Cに到達するまでの時間を考えます。

BCの長さは10cmなので、かかる時間は$10/2 = 5$秒。点PがBに到達するまでに3秒かかっているので、合計時間は$3+5=8$秒です。

したがって、$3 \leq x \leq 8$のとき、$y = 48 - 6x$となります。

$x=8$のとき、$y=48-6 \times 8 = 0$です。

グラフは、$0 \leq x \leq 3$で直線$y=10x$、$3 \leq x \leq 8$で直線$y=48-6x$となる折れ線グラフとなります。

グラフ用紙にプロットすると、以下のようになります。

* (0, 0)

* (3, 30)

* (8, 0)

(2) $y=18$となるxの値

まず、$0 \leq x \leq 3$の範囲で、$y = 10x = 18$となるxを求めます。

$10x = 18$より、$x = 1.8$

$1.8$は$0 \leq x \leq 3$を満たすので、$x = 1.8$は解です。

次に、$3 \leq x \leq 8$の範囲で、$y = 48 - 6x = 18$となるxを求めます。

$48 - 6x = 18$より、$6x = 30$なので、$x = 5$

$5$は$3 \leq x \leq 8$を満たすので、$x = 5$は解です。

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記参照。

(2) $x = 1.8, 5$