問題は以下の通りです。 (1) $a=3, b=4, C=135^\circ$ を満たす $\triangle ABC$ の面積を求めよ。 (2) $a=9, b=10, c=11$ を満たす $\triangle ABC$ について、$\cos C$ の値および面積を求めよ。 (3) $b=3, c=5, A=120^\circ$ の $\triangle ABC$ について、外接円の半径 $R$ を求めよ。 (4) $b=3, c=5, A=120^\circ$ の $\triangle ABC$ について、面積 $S$ を求めよ。 (5) $b=3, c=5, A=120^\circ$ の $\triangle ABC$ について、内接円の半径 $r$ を求めよ。 (6) 四角形 $ABCD$ において、$AB=3, BC=4, CD=1, DA=4, \angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ を求めよ。 (7) 四角形 $ABCD$ において、$AB=3, BC=4, CD=1, DA=4, \angle B = 60^\circ$ のとき、$\cos D$ を求めよ。 (8) 四角形 $ABCD$ において、$AB=3, BC=4, CD=1, DA=4, \angle B = 60^\circ$ のとき、面積を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $a=3, b=4, C=135^\circ$ を満たす $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

(2) $a=9, b=10, c=11$ を満たす $\triangle ABC$ について、$\cos C$ の値および面積を求めよ。

(3) $b=3, c=5, A=120^\circ$ の $\triangle ABC$ について、外接円の半径 $R$ を求めよ。

(4) $b=3, c=5, A=120^\circ$ の $\triangle ABC$ について、面積 $S$ を求めよ。

(5) $b=3, c=5, A=120^\circ$ の $\triangle ABC$ について、内接円の半径 $r$ を求めよ。

(6) 四角形 $ABCD$ において、$AB=3, BC=4, CD=1, DA=4, \angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ を求めよ。

(7) 四角形 $ABCD$ において、$AB=3, BC=4, CD=1, DA=4, \angle B = 60^\circ$ のとき、$\cos D$ を求めよ。

(8) 四角形 $ABCD$ において、$AB=3, BC=4, CD=1, DA=4, \angle B = 60^\circ$ のとき、面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ で求められる。

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

(2) まず余弦定理を用いて $\cos C$ を求める。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ より、

$11^2 = 9^2 + 10^2 - 2 \times 9 \times 10 \cos C$

$121 = 81 + 100 - 180 \cos C$

$180 \cos C = 60$

$\cos C = \frac{1}{3}$

次に、$C$ は鋭角であるから、$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 9 \times 10 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 30\sqrt{2}$

(3) 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \cos 120^\circ = 9 + 25 - 30 \times (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$a = 7$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$2R = \frac{7}{\sin 120^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) 面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(5) $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+3+5}{2} = \frac{15}{2}$

$S = rs$ より、$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(6) $\triangle ABC$ において、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \cos B = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \cos 60^\circ = 9 + 16 - 24 \times \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$AC = \sqrt{13}$

(7) $\triangle ACD$ において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD \cos D$

$13 = 4^2 + 1^2 - 2 \times 4 \times 1 \cos D = 16 + 1 - 8\cos D = 17 - 8\cos D$

$8\cos D = 4$

$\cos D = \frac{1}{2}$

(8) $\angle D = 60^\circ$ である。

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 60^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$\triangle ACD$ の面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 1 \times \sin 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

四角形 $ABCD$ の面積は $3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2}$

(2) $\cos C = \frac{1}{3}$, 面積 $30\sqrt{2}$

(3) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) $S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(5) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(6) $AC = \sqrt{13}$

(7) $\cos D = \frac{1}{2}$

(8) $4\sqrt{3}$