与えられた図において、指定された線分の長さを方べきの定理を用いて求める問題です。 (1)では、点Cは円の接点であるという条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた図において、指定された線分の長さを方べきの定理を用いて求める問題です。

(1)では、点Cは円の接点であるという条件が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 線分PCの長さを求める。

方べきの定理より、$PC^2 = PB \cdot PA$が成り立ちます。

図から、$PB = 2$、$PA = PB + BA = 2 + 6 = 8$とわかります。

したがって、$PC^2 = 2 \cdot 8 = 16$となります。

$PC > 0$であるから、$PC = \sqrt{16} = 4$となります。

(2) 線分CDの長さを求める。

方べきの定理より、$PC \cdot PD = PB \cdot PA$ が成り立ちます。

図から、$PB = 3$、$PA = PB + BA = 3 + 5 = 8$、$PD = 4$とわかります。

したがって、$CD = \sqrt{3\cdot 8 + 4^2}=\sqrt{24+16}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ となります。

(3)線分PC、BDの長さを求める。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$と$PC \cdot PD = PA \cdot PB$ が成り立ちます。

$PA=3$, $PB=4$, $PC=4$, $PD=6$とわかります。

方べきの定理より、$PC \cdot PD = PA \cdot PB + PA \cdot AB$ が成り立ちます。

$4 \cdot BD =3 \cdot (3+6)$

$4BD= 27$

$BD=27/4$

よって、$BD = 27/4$

3. 最終的な答え

(1) 線分PCの長さは4です。

(2) 線分CDの長さは$2\sqrt{10}$です。

(3) 線分BDの長さは$27/4$です。