$xy$平面において、方程式 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ が円を表すような定数 $a$ の値の範囲を求め、さらに、2つの円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ と $x^2+y^2=1$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面において、方程式 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ が円を表すような定数 $a$ の値の範囲を求め、さらに、2つの円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ と $x^2+y^2=1$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2+y^2-6x-8y+a=0$ が円を表す条件を求める。

この式を平方完成すると、

$(x-3)^2 + (y-4)^2 - 9 - 16 + a = 0$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 - a$

これが円を表すためには、右辺が正である必要がある。したがって、

$25 - a > 0$

$a < 25$

次に、2つの円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ と $x^2+y^2=1$ が異なる2点で交わる条件を考える。

円の中心間の距離を $d$ 、それぞれの円の半径を $r_1, r_2$ とすると、2つの円が異なる2点で交わる条件は、

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

この問題では、円 $x^2+y^2=1$ の中心は $(0, 0)$ 、半径は $1$ である。円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ の中心は $(3, 4)$ 、半径は $\sqrt{25-a}$ である。

よって、円の中心間の距離 $d$ は $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

半径の差の絶対値は $|r_1 - r_2| = |\sqrt{25-a} - 1|$

半径の和は $r_1 + r_2 = \sqrt{25-a} + 1$

したがって、

$|\sqrt{25-a} - 1| < 5 < \sqrt{25-a} + 1$

まず、$5 < \sqrt{25-a} + 1$ を解くと、

$4 < \sqrt{25-a}$

$16 < 25-a$

$a < 25 - 16$

$a < 9$

次に、$|\sqrt{25-a} - 1| < 5$ を解くと、

$-5 < \sqrt{25-a} - 1 < 5$

$-4 < \sqrt{25-a} < 6$

$\sqrt{25-a}$ は常に正なので、 $\sqrt{25-a} < 6$ のみを考えればよい。

$25-a < 36$

$-a < 11$

$a > -11$

したがって、$-11 < a < 9$

3. 最終的な答え

$a<25$

$-11 < a < 9$