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四面体OABCがあり、辺OAの中点をD、線分BDを2:1に内分する点をEとする。辺BCをs:(1-s) (0 < s < 1) に内分する点をPとし、線分OPをt:(1-t) (0 < t < 1) に内分する点をQとする。OA = $\vec{a}$, OB = $\vec{b}$, OC = $\vec{c}$とする。 (1) $\vec{OE}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、$\vec{OP}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$, sを用いて表せ。 (2) 直線EQと直線ACが平行になるとき、s, tの値をそれぞれ求めよ。 (3) 四面体OABCにおいて、OA=1, OB=$\sqrt{3}$, OC=1, ∠AOB=30°, ∠BOC=90°, ∠COA=90°とする。また、(2)のとき、点Qから平面ABCに引いた垂線と平面ABCとの交点をHとする。$\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

幾何学ベクトル空間ベクトル四面体内分点平面のベクトル方程式
2025/7/14

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、辺OAの中点をD、線分BDを2:1に内分する点をEとする。辺BCをs:(1-s) (0 < s < 1) に内分する点をPとし、線分OPをt:(1-t) (0 < t < 1) に内分する点をQとする。OA = a⃗\vec{a}, OB = b⃗\vec{b}, OC = c⃗\vec{c}とする。
(1) OE⃗\vec{OE}をa⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}を用いて表せ。また、OP⃗\vec{OP}をb⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}, sを用いて表せ。
(2) 直線EQと直線ACが平行になるとき、s, tの値をそれぞれ求めよ。
(3) 四面体OABCにおいて、OA=1, OB=3\sqrt{3}, OC=1, ∠AOB=30°, ∠BOC=90°, ∠COA=90°とする。また、(2)のとき、点Qから平面ABCに引いた垂線と平面ABCとの交点をHとする。OH⃗\vec{OH}をa⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)
点Dは辺OAの中点なので、OD⃗=12a⃗\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}。
点Eは線分BDを2:1に内分するので、
OE⃗=13OB⃗+23OD⃗=13b⃗+23⋅12a⃗=13b⃗+13a⃗=13a⃗+13b⃗\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}。
点Pは辺BCをs:(1-s)に内分するので、
OP⃗=(1−s)OB⃗+sOC⃗=(1−s)b⃗+sc⃗\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OC} = (1-s)\vec{b} + s\vec{c}。
(2)
EQ⃗=OQ⃗−OE⃗\vec{EQ} = \vec{OQ} - \vec{OE}。
点Qは線分OPをt:(1-t)に内分するので、OQ⃗=tOP⃗=t(1−s)b⃗+tsc⃗\vec{OQ} = t\vec{OP} = t(1-s)\vec{b} + ts\vec{c}。
EQ⃗=t(1−s)b⃗+tsc⃗−(13a⃗+13b⃗)=−13a⃗+(t(1−s)−13)b⃗+tsc⃗\vec{EQ} = t(1-s)\vec{b} + ts\vec{c} - (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} + (t(1-s) - \frac{1}{3})\vec{b} + ts\vec{c}。
AC⃗=OC⃗−OA⃗=c⃗−a⃗\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \vec{c} - \vec{a}。
EQとACが平行なので、EQ⃗=kAC⃗\vec{EQ} = k\vec{AC}を満たす実数kが存在する。
−13a⃗+(t(1−s)−13)b⃗+tsc⃗=k(c⃗−a⃗)=−ka⃗+kc⃗-\frac{1}{3}\vec{a} + (t(1-s) - \frac{1}{3})\vec{b} + ts\vec{c} = k(\vec{c} - \vec{a}) = -k\vec{a} + k\vec{c}。
a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}は一次独立なので、
−13=−k-\frac{1}{3} = -k
t(1−s)−13=0t(1-s) - \frac{1}{3} = 0
ts=kts = k
より、k=13k = \frac{1}{3}。
ts=13ts = \frac{1}{3}。
t(1−s)=13t(1-s) = \frac{1}{3}。
t−ts=13t - ts = \frac{1}{3}。
t−13=13t - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}。
t=23t = \frac{2}{3}。
23s=13\frac{2}{3}s = \frac{1}{3}。
s=12s = \frac{1}{2}。
(3)
(2)より、s=12,t=23s = \frac{1}{2}, t = \frac{2}{3}なので、
OQ⃗=tOP⃗=23⋅(12b⃗+12c⃗)=13b⃗+13c⃗\vec{OQ} = t\vec{OP} = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}。
点Hは平面ABC上にあるので、OH⃗=pa⃗+qb⃗+rc⃗\vec{OH} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}とおくと、p+q+r=1p+q+r = 1。
また、QH⃗\vec{QH}は平面ABCに垂直なので、
QH⃗=OH⃗−OQ⃗=pa⃗+(q−13)b⃗+(r−13)c⃗\vec{QH} = \vec{OH} - \vec{OQ} = p\vec{a} + (q - \frac{1}{3})\vec{b} + (r - \frac{1}{3})\vec{c}。
AB⃗=b⃗−a⃗\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}、AC⃗=c⃗−a⃗\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}。
QH⃗⊥AB⃗\vec{QH} \perp \vec{AB}より、QH⃗⋅AB⃗=0\vec{QH} \cdot \vec{AB} = 0。
QH⃗⊥AC⃗\vec{QH} \perp \vec{AC}より、QH⃗⋅AC⃗=0\vec{QH} \cdot \vec{AC} = 0。
a⃗⋅a⃗=1,b⃗⋅b⃗=3,c⃗⋅c⃗=1\vec{a} \cdot \vec{a} = 1, \vec{b} \cdot \vec{b} = 3, \vec{c} \cdot \vec{c} = 1。
a⃗⋅b⃗=1⋅3⋅cos⁡30∘=32\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{3}{2}。
b⃗⋅c⃗=3⋅1⋅cos⁡90∘=0\vec{b} \cdot \vec{c} = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos 90^{\circ} = 0。
c⃗⋅a⃗=1⋅1⋅cos⁡90∘=0\vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 90^{\circ} = 0。
QH⃗⋅AB⃗=(pa⃗+(q−13)b⃗+(r−13)c⃗)⋅(b⃗−a⃗)=p(32−1)+(q−13)(3−32)+(r−13)(0−0)=p2+32(q−13)=0\vec{QH} \cdot \vec{AB} = (p\vec{a} + (q - \frac{1}{3})\vec{b} + (r - \frac{1}{3})\vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = p(\frac{3}{2} - 1) + (q - \frac{1}{3})(3 - \frac{3}{2}) + (r - \frac{1}{3})(0 - 0) = \frac{p}{2} + \frac{3}{2}(q - \frac{1}{3}) = 0。
p+3(q−13)=0p + 3(q - \frac{1}{3}) = 0。
p+3q−1=0p + 3q - 1 = 0。
p+3q=1p + 3q = 1。
QH⃗⋅AC⃗=(pa⃗+(q−13)b⃗+(r−13)c⃗)⋅(c⃗−a⃗)=p(0−1)+(q−13)(0−32)+(r−13)(1−0)=−p−32(q−13)+(r−13)=0\vec{QH} \cdot \vec{AC} = (p\vec{a} + (q - \frac{1}{3})\vec{b} + (r - \frac{1}{3})\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = p(0 - 1) + (q - \frac{1}{3})(0 - \frac{3}{2}) + (r - \frac{1}{3})(1 - 0) = -p - \frac{3}{2}(q - \frac{1}{3}) + (r - \frac{1}{3}) = 0。
−p−32q+12+r−13=0-p - \frac{3}{2}q + \frac{1}{2} + r - \frac{1}{3} = 0。
−p−32q+r=13−12=−16-p - \frac{3}{2}q + r = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}。
−6p−9q+6r=−1-6p - 9q + 6r = -1。
p+q+r=1p + q + r = 1より、r=1−p−qr = 1 - p - q。
−6p−9q+6(1−p−q)=−1-6p - 9q + 6(1 - p - q) = -1。
−6p−9q+6−6p−6q=−1-6p - 9q + 6 - 6p - 6q = -1。
−12p−15q=−7-12p - 15q = -7。
12p+15q=712p + 15q = 7。
p+3q=1p + 3q = 1より、p=1−3qp = 1 - 3q。
12(1−3q)+15q=712(1 - 3q) + 15q = 7。
12−36q+15q=712 - 36q + 15q = 7。
−21q=−5-21q = -5。
q=521q = \frac{5}{21}。
p=1−3⋅521=1−57=27p = 1 - 3 \cdot \frac{5}{21} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}。
r=1−p−q=1−27−521=1−621−521=1−1121=1021r = 1 - p - q = 1 - \frac{2}{7} - \frac{5}{21} = 1 - \frac{6}{21} - \frac{5}{21} = 1 - \frac{11}{21} = \frac{10}{21}。
OH⃗=27a⃗+521b⃗+1021c⃗\vec{OH} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{5}{21}\vec{b} + \frac{10}{21}\vec{c}。

3. 最終的な答え

(1) OE⃗=13a⃗+13b⃗\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}、OP⃗=(1−s)b⃗+sc⃗\vec{OP} = (1-s)\vec{b} + s\vec{c}
(2) s=12s = \frac{1}{2}, t=23t = \frac{2}{3}
(3) OH⃗=27a⃗+521b⃗+1021c⃗\vec{OH} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{5}{21}\vec{b} + \frac{10}{21}\vec{c}

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