2点A(1, 1), B(6, 2)について、以下のものを求めます。 (1) 線分ABを2:3に内分する点Pの座標 (2) 線分ABを2:3に外分する点Qの座標 (3) 点Aに関して、点Bと対称な点Cの座標 (4) △ABDの重心がG(3, 1)となる点Dの座標

1. 問題の内容

2点A(1, 1), B(6, 2)について、以下のものを求めます。

(1) 線分ABを2:3に内分する点Pの座標

(2) 線分ABを2:3に外分する点Qの座標

(3) 点Aに関して、点Bと対称な点Cの座標

(4) △ABDの重心がG(3, 1)となる点Dの座標

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを2:3に内分する点Pの座標は、内分公式を用いて求めます。

$P = (\frac{3A_x + 2B_x}{2+3}, \frac{3A_y + 2B_y}{2+3})$

$P = (\frac{3(1) + 2(6)}{5}, \frac{3(1) + 2(2)}{5})$

$P = (\frac{3+12}{5}, \frac{3+4}{5})$

$P = (\frac{15}{5}, \frac{7}{5})$

$P = (3, \frac{7}{5})$

(2) 線分ABを2:3に外分する点Qの座標は、外分公式を用いて求めます。

$Q = (\frac{-3A_x + 2B_x}{2-3}, \frac{-3A_y + 2B_y}{2-3})$

$Q = (\frac{-3(1) + 2(6)}{-1}, \frac{-3(1) + 2(2)}{-1})$

$Q = (\frac{-3+12}{-1}, \frac{-3+4}{-1})$

$Q = (\frac{9}{-1}, \frac{1}{-1})$

$Q = (-9, -1)$

(3) 点Aに関して点Bと対称な点Cの座標を求めます。点Aは線分BCの中点なので、中点公式を用いて求めます。

$A = (\frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2})$

$(1, 1) = (\frac{6 + C_x}{2}, \frac{2 + C_y}{2})$

$1 = \frac{6 + C_x}{2}$, $1 = \frac{2 + C_y}{2}$

$2 = 6 + C_x$, $2 = 2 + C_y$

$C_x = -4$, $C_y = 0$

$C = (-4, 0)$

(4) △ABDの重心がG(3, 1)となる点Dの座標を求めます。重心の公式を用いて求めます。A(1, 1), B(6, 2), D(Dx, Dy)

$G = (\frac{A_x + B_x + D_x}{3}, \frac{A_y + B_y + D_y}{3})$

$(3, 1) = (\frac{1 + 6 + D_x}{3}, \frac{1 + 2 + D_y}{3})$

$3 = \frac{7 + D_x}{3}$, $1 = \frac{3 + D_y}{3}$

$9 = 7 + D_x$, $3 = 3 + D_y$

$D_x = 2$, $D_y = 0$

$D = (2, 0)$

3. 最終的な答え

(1) P(3, 7/5)

(2) Q(-9, -1)

(3) C(-4, 0)

(4) D(2, 0)