座標平面上に、点$(0, 2)$を通り、半径が$\sqrt{5}$である円$C: x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$がある。ここで、$a$は正の定数、$b$は定数である。 (1) $a, b$の値をそれぞれ求めよ。 (2) 直線$y = -\frac{1}{2}x + 5$に垂直で、円$C$に接する直線は2本ある。このうち、$y$軸の正の部分と交わる直線を$m$とする。直線$m$の方程式を求めよ。また、直線$m$と円$C$の接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に、点$(0, 2)$を通り、半径が$\sqrt{5}$である円$C: x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$がある。ここで、$a$は正の定数、$b$は定数である。

(1) $a, b$の値をそれぞれ求めよ。

(2) 直線$y = -\frac{1}{2}x + 5$に垂直で、円$C$に接する直線は2本ある。このうち、$y$軸の正の部分と交わる直線を$m$とする。直線$m$の方程式を求めよ。また、直線$m$と円$C$の接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円$C$が点$(0, 2)$を通るので、円の方程式に$x = 0, y = 2$を代入すると、

$0^2 + 2^2 - 2a(0) - 6(2) + b = 0$

$4 - 12 + b = 0$

$b = 8$

円$C$の方程式は$x^2 + y^2 - 2ax - 6y + 8 = 0$となる。

この円の中心は$(a, 3)$であり、半径は$\sqrt{5}$であるから、

$\sqrt{a^2 + 3^2 - 8} = \sqrt{5}$

$a^2 + 9 - 8 = 5$

$a^2 + 1 = 5$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a$は正の定数なので、$a = 2$

よって、$a = 2, b = 8$

(2) 直線$y = -\frac{1}{2}x + 5$に垂直な直線の傾きは、$2$である。

したがって、直線$m$の方程式は$y = 2x + k$と表せる。

円$C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0$の中心$(2, 3)$と直線$m: 2x - y + k = 0$の距離が半径$\sqrt{5}$に等しいとき、直線$m$は円$C$に接する。

$\frac{|2(2) - 3 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|4 - 3 + k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|1 + k| = 5$

$1 + k = \pm 5$

$k = -1 \pm 5$

$k = 4, -6$

$y$軸の正の部分と交わる直線なので、$y$切片が正である必要がある。

$k = 4$のとき、$y = 2x + 4$

$k = -6$のとき、$y = 2x - 6$

よって、$y$切片が正となるのは、$k=4$の場合である。

したがって、直線$m$の方程式は$y = 2x + 4$

次に、直線$m: y = 2x + 4$と円$C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0$の接点を求める。

$y = 2x + 4$を円の方程式に代入すると、

$x^2 + (2x + 4)^2 - 4x - 6(2x + 4) + 8 = 0$

$x^2 + 4x^2 + 16x + 16 - 4x - 12x - 24 + 8 = 0$

$5x^2 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$

$y = 2(0) + 4 = 4$

したがって、接点の座標は$(0, 4)$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = 8$

(2) 直線$m$の方程式：$y = 2x + 4$

接点の座標：$(0, 4)$