以下の2つの問題について、条件を満たす直線の方程式を求める。 (1) 2直線 $x+2y-6=0$ と $2x-3y+5=0$ の交点を通り、点 $(-1, 2)$ を通る直線 (2) 点 $(-1, 5)$ を通り、直線 $2x-y+1=0$ に平行な直線

1. 問題の内容

以下の2つの問題について、条件を満たす直線の方程式を求める。

(1) 2直線 $x+2y-6=0$ と $2x-3y+5=0$ の交点を通り、点 $(-1, 2)$ を通る直線

(2) 点 $(-1, 5)$ を通り、直線 $2x-y+1=0$ に平行な直線

2. 解き方の手順

(1) 2直線の交点を通る直線の方程式は、$k$ を実数として、

$(x+2y-6) + k(2x-3y+5) = 0$

と表せる。この直線が点 $(-1, 2)$ を通るので、

$(-1+2\times 2-6) + k(2\times(-1)-3\times 2+5) = 0$

$(-1+4-6) + k(-2-6+5) = 0$

$-3 - 3k = 0$

$k = -1$

これを代入すると、

$(x+2y-6) - (2x-3y+5) = 0$

$x+2y-6 - 2x+3y-5 = 0$

$-x + 5y - 11 = 0$

$x - 5y + 11 = 0$

(2) 直線 $2x-y+1=0$ に平行な直線は、$2x-y+c = 0$ (cは定数) と表せる。この直線が点 $(-1, 5)$ を通るので、

$2\times (-1) - 5 + c = 0$

$-2 - 5 + c = 0$

$c = 7$

よって、求める直線の方程式は $2x - y + 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x - 5y + 11 = 0$

(2) $2x - y + 7 = 0$