双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{4} = -1$ の接線で、傾きが $-1$ であるものを求める。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{4} = -1$ の接線で、傾きが $-1$ であるものを求める。

2. 解き方の手順

双曲線の式を $x^2 - \frac{y^2}{4} = -1$ とする。

求める接線の傾きが $-1$ なので、$y = -x + b$ とおく。ここで、$b$ は切片である。

これを双曲線の式に代入して、$x$ についての二次方程式を得る。

$x^2 - \frac{(-x+b)^2}{4} = -1$

$4x^2 - (x^2 - 2bx + b^2) = -4$

$3x^2 + 2bx - b^2 + 4 = 0$

この二次方程式が重解を持つとき、接線となる。

判別式 $D = 0$ を解く。

$D = (2b)^2 - 4(3)(-b^2 + 4) = 4b^2 - 12(-b^2 + 4) = 4b^2 + 12b^2 - 48 = 16b^2 - 48 = 0$

$16b^2 = 48$

$b^2 = 3$

$b = \pm \sqrt{3}$

したがって、接線は $y = -x \pm \sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x + \sqrt{3}$

$y = -x - \sqrt{3}$