3点 $O(0,0), A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求める問題で、直線 $OA$ の方程式、線分 $OA$ の長さ、点 $B$ と直線 $OA$ の距離（高さ $h$）、三角形の面積 $S$ を、それぞれ $A, B, C, D$ の記号で表す式を求める。さらに、3点 $A(-4,3), B(-1, 2), C(3, -1)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求める。 また、会話文の空欄アからクに当てはまる数字・記号を答える。

1. 問題の内容

3点 $O(0,0), A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求める問題で、直線 $OA$ の方程式、線分 $OA$ の長さ、点 $B$ と直線 $OA$ の距離（高さ $h$）、三角形の面積 $S$ を、それぞれ $A, B, C, D$ の記号で表す式を求める。さらに、3点 $A(-4,3), B(-1, 2), C(3, -1)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求める。

また、会話文の空欄アからクに当てはまる数字・記号を答える。

2. 解き方の手順

まず、3点 $O(0,0), A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求める。

* 直線 $OA$ の方程式は $y = \frac{y_1}{x_1}x$ 、つまり $y_1x - x_1y = 0$。したがって $A = y_1x - x_1y$。

* 線分 $OA$ の長さは $OA = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。したがって $B = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。

* 点 $B(x_2, y_2)$ と直線 $OA$ の距離（高さ）$h$ は、点と直線の距離の公式より $h = \frac{|y_1x_2 - x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$。したがって $C = \frac{|y_1x_2 - x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$。

* 三角形の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \times OA \times h = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$。したがって $D = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$。

次に、3点 $A(-4,3), B(-1, 2), C(3, -1)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求める。

$A(-4, 3)$ が原点に来るように平行移動するため、$B$ と $C$ をそれぞれ同じように平行移動すると、$B'(-1+4, 2-3) = B'(3, -1)$、 $C'(3+4, -1-3) = C'(7, -4)$ となる。

したがって、$x_1 = 3, y_1 = -1, x_2 = 7, y_2 = -4$ を $S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ に代入すると、

$S = \frac{1}{2}|3 \times (-4) - 7 \times (-1)| = \frac{1}{2}|-12 + 7| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$。

最後に、会話文の空欄を埋める。

ア：3, イ：-1, ウ：7, エ：7, オ：-4, カ：2, キ：\frac{5}{2}, ク：x7

3. 最終的な答え

A: $y_1x - x_1y$

B: $\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

C: $\frac{|y_1x_2 - x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$

D: $\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

三角形の面積S: $\frac{5}{2}$

ア：3, イ：-1, ウ：7, エ：7, オ：-4, カ：2, キ：\frac{5}{2}, ク：x7