直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。

点 $A$ と点 $B$ の中点を $M$ とすると、$M$ は直線 $x + y + 1 = 0$ 上にある。

$M$ の座標は $\left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$ と表せる。

したがって、

$\frac{3+x}{2} + \frac{2+y}{2} + 1 = 0$

$3 + x + 2 + y + 2 = 0$

$x + y = -7$ (1)

直線 $AB$ は直線 $x + y + 1 = 0$ と垂直である。

直線 $x + y + 1 = 0$ の傾きは $-1$ であるから、直線 $AB$ の傾きは $1$ である。

$\frac{y - 2}{x - 3} = 1$

$y - 2 = x - 3$

$x - y = 1$ (2)

(1) と (2) の連立方程式を解く。

$x + y = -7$

$x - y = 1$

2式を足し合わせると、$2x = -6$ より $x = -3$

$y = x - 1 = -3 - 1 = -4$

したがって、点 $B$ の座標は $(-3, -4)$ となる。

3. 最終的な答え

点 $B$ の座標は $(-3, -4)$