問題文は、3点 A(2, 3), B(-4, 9), C(1, 7) が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。 (1) 3点を頂点とする三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 三角形OACの面積を求めよ。Oは原点(0,0)です。 (3) OA, OBを辺にもつ平行四辺形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

問題文は、3点 A(2, 3), B(-4, 9), C(1, 7) が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。

(1) 3点を頂点とする三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 三角形OACの面積を求めよ。Oは原点(0,0)です。

(3) OA, OBを辺にもつ平行四辺形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求めるには、ベクトルを用いる方法があります。ベクトルABとベクトルACを求め、それらの外積の絶対値の半分が三角形の面積となります。

ベクトルAB = B - A = (-4 - 2, 9 - 3) = (-6, 6)

ベクトルAC = C - A = (1 - 2, 7 - 3) = (-1, 4)

三角形ABCの面積 S は、

$S = \frac{1}{2} |(-6)(4) - (6)(-1)| = \frac{1}{2} |-24 + 6| = \frac{1}{2} |-18| = 9$

(2) 三角形OACの面積を求めるには、原点O(0,0)とA(2,3), C(1,7)を用いることで同様に計算できます。

ベクトルOA = (2, 3)

ベクトルOC = (1, 7)

三角形OACの面積 S' は、

$S' = \frac{1}{2} |(2)(7) - (3)(1)| = \frac{1}{2} |14 - 3| = \frac{1}{2} |11| = \frac{11}{2}$

(3) OA, OBを辺にもつ平行四辺形の面積を求めるには、ベクトルOAとベクトルOBの外積の絶対値を求めます。

ベクトルOA = (2, 3)

ベクトルOB = (-4, 9)

平行四辺形の面積 P は、

$P = |(2)(9) - (3)(-4)| = |18 + 12| = |30| = 30$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積は9

(2) 三角形OACの面積は $\frac{11}{2}$

(3) 平行四辺形の面積は30