$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 2, \tan \beta = 5, \tan \gamma = 8$ であるとき、$\alpha + \beta + \gamma$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 2, \tan \beta = 5, \tan \gamma = 8$ であるとき、$\alpha + \beta + \gamma$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(\alpha + \beta)$ を求める。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 5}{1 - 2 \cdot 5} = \frac{7}{1 - 10} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$

次に、$\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ を求める。

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \tan((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma}$

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{-\frac{7}{9} + 8}{1 - (-\frac{7}{9}) \cdot 8} = \frac{-\frac{7}{9} + \frac{72}{9}}{1 + \frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{9 + 56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$

$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}, 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ である。

また、$\tan \alpha = 2 > 0, \tan \beta = 5 > 0, \tan \gamma = 8 > 0$ である。

$\tan(\alpha + \beta) = -\frac{7}{9} < 0$ より、$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi$ である。

したがって、$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$である。

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ より、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + n\pi$ （$n$は整数）である。

$\alpha + \beta + \gamma$ は $\frac{\pi}{2}$ より大きいので、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$ である。

$\alpha, \beta, \gamma$ が鋭角なので、$\alpha+\beta+\gamma = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{4}$