三角形ABCにおいて、ABの長さが$1+\sqrt{3}$、BCの長さが$\sqrt{6}$、CAの長さが2であるとき、∠BACの角度、三角形ABCの面積、および三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、ABの長さが$1+\sqrt{3}$、BCの長さが$\sqrt{6}$、CAの長さが2であるとき、∠BACの角度、三角形ABCの面積、および三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠BAC (∠A) の計算:

余弦定理を用いて∠Aを求める。余弦定理は以下の通り。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2(AB)(CA) \cos A$

$\sqrt{6}^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{3})(2) \cos A$

$6 = (1+2\sqrt{3}+3) + 4 - 4(1+\sqrt{3}) \cos A$

$6 = 8 + 2\sqrt{3} - 4(1+\sqrt{3}) \cos A$

$-2-2\sqrt{3} = -4(1+\sqrt{3}) \cos A$

$2(1+\sqrt{3}) = 4(1+\sqrt{3}) \cos A$

$\cos A = \frac{2(1+\sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

$\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

(2) 三角形ABCの面積の計算:

三角形の面積を求めるには、2辺とその間の角を使う。

$\text{Area} = \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin A$

$\text{Area} = \frac{1}{2} (1+\sqrt{3})(2) \sin 60^\circ$

$\text{Area} = (1+\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}+3}{2}$

(3) 外接円の半径の計算:

正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。正弦定理は以下の通り。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2R$

$2R = 2\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2}$

$R = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

∠BAC = 60°

三角形ABCの面積 = $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

外接円の半径 = $\sqrt{2}$