点 $(1, -2, -6)$ と平面 $x - 4y + 3z + 5 = 0$ との距離を求めます。

1. 問題の内容

点 $(1, -2, -6)$ と平面 $x - 4y + 3z + 5 = 0$ との距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離 $D$ は、次の公式で求められます。

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D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

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この問題では、$x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = -6$, $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$, $d = 5$ です。

これらの値を公式に代入します。

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D = \frac{|1(1) - 4(-2) + 3(-6) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2 + 3^2}}

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D = \frac{|1 + 8 - 18 + 5|}{\sqrt{1 + 16 + 9}}

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D = \frac{|-4|}{\sqrt{26}}

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D = \frac{4}{\sqrt{26}}

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分母を有理化します。

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D = \frac{4\sqrt{26}}{26} = \frac{2\sqrt{26}}{13}

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3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{26}}{13}$