## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題文は3つの証明問題から構成されています。ここでは、(3)の問題について回答します。

(3) $AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ があります。点$B$を通り、辺$AC$に平行な直線と、点$C$を通り、辺$AB$に平行な直線との交点を$D$とします。点$A$と点$D$を結び、辺$BC$と線分$AD$との交点を$E$とします。このとき、$\angle AEC = 90^\circ$ であることを証明しなさい。

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2. 解き方の手順

1. 四角形 $ABDC$ が平行四辺形であることを示す。

2. 平行四辺形の性質を利用して、$AD$ が $\angle BAC$ の二等分線であることを示す。

3. $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることと、二等辺三角形の性質から、$\angle ABC = \angle ACB$ であることを示す。

4. 二等辺三角形の頂角の二等分線が底辺を垂直に二等分することを利用して、$\angle AEC = 90^\circ$ であることを示す。

以下，証明の詳細を示します。

（証明）

1. 点$B$を通り辺$AC$に平行な直線と、点$C$を通り辺$AB$に平行な直線との交点を$D$とすると、四角形$ABDC$は平行四辺形である。

2. 平行四辺形の対角線は互いに他を二等分するので、$E$は線分$AD$の中点である。$\triangle ABD$において、$AE=ED$である。また、平行四辺形の対辺は平行なので、$BD \parallel AC$ である。

したがって、$\angle BAD = \angle ADC$ （平行線の錯角）

3. $AB = AC$ より、$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB$ である。

4. $\triangle ABD$ において、AB = AC であり、四角形 ABDC が平行四辺形であることから BD = AC である。ゆえに、AB = BD である。

したがって，$\triangle ABD$ は $AB = BD$の二等辺三角形である。二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する。

5. 点$E$は$AD$の中点なので、$BE$は$\angle ABD$の二等分線である。したがって、$\angle ABE = \angle DBE$ となる。

6. $AD$と$BC$の交点が$E$なので、$\angle AEC$ は $\triangle ABE$ の外角である。したがって、$\angle AEC = \angle EAB + \angle ABE$ となる。

同様に、$\angle AEB$ は $\triangle CDE$ の外角である。したがって、$\angle AEB = \angle EDC + \angle DCE$ となる。

7. 平行線の錯角は等しいので，$\angle DCE = \angle ABE$ である。また，$\angle EAB = \angle EDC$ である。したがって，$\angle AEC = \angle AEB$ となる。

8. $\angle AEC + \angle AEB = 180^\circ$ なので、$2\angle AEC = 180^\circ$ である。したがって、$\angle AEC = 90^\circ$ である。

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3. 最終的な答え

$\angle AEC = 90^\circ$