半径5cmの円Oについて、中心角がそれぞれ $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle BOC = 144^\circ$, $\angle COD = 54^\circ$ となるような扇形を考えます。 (1) 円Oの周の長さと面積を求めます。 (2) 弧ABの長さを求めます。 (3) 扇形OCDの面積を求めます。 (4) 扇形ODAの面積は、扇形OBCの面積の何倍かを求めます。

1. 問題の内容

半径5cmの円Oについて、中心角がそれぞれ $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle BOC = 144^\circ$, $\angle COD = 54^\circ$ となるような扇形を考えます。

(1) 円Oの周の長さと面積を求めます。

(2) 弧ABの長さを求めます。

(3) 扇形OCDの面積を求めます。

(4) 扇形ODAの面積は、扇形OBCの面積の何倍かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円Oの周の長さは $2 \pi r$ で、面積は $\pi r^2$ で求められます。ここで $r=5$ cmです。

周の長さ: $2 \pi \times 5 = 10 \pi$ (cm)

面積: $\pi \times 5^2 = 25 \pi$ (cm$^2$)

(2) 弧ABの長さは、$2 \pi r \times \frac{\angle AOB}{360^\circ}$ で求められます。

弧ABの長さ: $2 \pi \times 5 \times \frac{90}{360} = 10 \pi \times \frac{1}{4} = \frac{5}{2} \pi$ (cm)

(3) 扇形OCDの面積は、$\pi r^2 \times \frac{\angle COD}{360^\circ}$ で求められます。

扇形OCDの面積: $\pi \times 5^2 \times \frac{54}{360} = 25 \pi \times \frac{3}{20} = \frac{15}{4} \pi$ (cm$^2$)

(4) 扇形ODAの中心角は、 $360^\circ - (90^\circ + 144^\circ + 54^\circ) = 360^\circ - 288^\circ = 72^\circ$ です。

扇形ODAの面積は、$\pi r^2 \times \frac{\angle ODA}{360^\circ}$で求められ、扇形OBCの面積は、$\pi r^2 \times \frac{\angle BOC}{360^\circ}$ で求められます。扇形ODAの面積が扇形OBCの面積の何倍かは、中心角の比で求められます。

$\frac{72}{144} = \frac{1}{2}$ 倍

3. 最終的な答え

(1) 周の長さ: $10 \pi$ cm, 面積: $25 \pi$ cm$^2$

(2) $\frac{5}{2} \pi$ cm

(3) $\frac{15}{4} \pi$ cm$^2$

(4) $\frac{1}{2}$ 倍