点A, B, Cの座標がそれぞれ (1, 2, 0), (-2, 0, 3), (0, 1, 1) であるとする。 (1) Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ を $i, j, k$ を用いて求めよ。 (2) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(t)$ について、$t = 0$ のときA, $t = 1$ のときBが対応するように、$\vec{r}(t)$ を $i, j, k$ を用いて表せ。 (3) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(s)$ を、$s = 0$ のときAで、$s$ が線分APの長さに等しくなるように $\vec{r}(s)$ を表せ。

1. 問題の内容

点A, B, Cの座標がそれぞれ (1, 2, 0), (-2, 0, 3), (0, 1, 1) であるとする。

(1) Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ を $i, j, k$ を用いて求めよ。

(2) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(t)$ について、$t = 0$ のときA, $t = 1$ のときBが対応するように、$\vec{r}(t)$ を $i, j, k$ を用いて表せ。

(3) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(s)$ を、$s = 0$ のときAで、$s$ が線分APの長さに等しくなるように $\vec{r}(s)$ を表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標が (1, 2, 0) であるから、位置ベクトル $\vec{r_A}$ は、

$\vec{r_A} = 1i + 2j + 0k = i + 2j$

となる。

(2) 点Aの位置ベクトルは $\vec{r_A} = i + 2j$ 、点Bの位置ベクトルは $\vec{r_B} = -2i + 0j + 3k = -2i + 3k$ である。線分AB上の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(t)$ は、

$\vec{r}(t) = (1 - t)\vec{r_A} + t\vec{r_B}$

と表せる。これを展開すると、

$\vec{r}(t) = (1 - t)(i + 2j) + t(-2i + 3k)$

$\vec{r}(t) = i + 2j - ti - 2tj - 2ti + 3tk$

$\vec{r}(t) = (1 - 3t)i + (2 - 2t)j + 3tk$

$\vec{r}(t) = (-3i - 2j + 3k)t + (i + 2j)$

(3) $\vec{r}(t) = (1 - 3t)i + (2 - 2t)j + 3tk$ で、$t$ は 0 から 1 の間の値をとる。$s$ は線分APの長さに等しいから、まずベクトル $\vec{AB}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{r_B} - \vec{r_A} = (-2i + 3k) - (i + 2j) = -3i - 2j + 3k$

このベクトルの大きさは、

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$

線分APの長さ $s$ は、$\vec{AB}$ の向きに $t$ 倍したものであるから、

$s = |\vec{AP}| = t|\vec{AB}|$ より $t = \frac{s}{|\vec{AB}|} = \frac{s}{\sqrt{22}}$

これを $\vec{r}(t)$ に代入すると、

$\vec{r}(s) = (1 - 3\frac{s}{\sqrt{22}})i + (2 - 2\frac{s}{\sqrt{22}})j + 3\frac{s}{\sqrt{22}}k$

$\vec{r}(s) = -\frac{3s}{\sqrt{22}}i - \frac{2s}{\sqrt{22}}j + \frac{3s}{\sqrt{22}}k + i + 2j$

$\vec{r}(s) = \frac{s}{\sqrt{22}}(-3i - 2j + 3k) + (i + 2j)$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{r_A} = i + 2j$

(2) $\vec{r}(t) = (-3i - 2j + 3k)t + (i + 2j)$

(3) $\vec{r}(s) = \frac{s}{\sqrt{22}}(-3i - 2j + 3k) + (i + 2j)$