(1) 点(1, 2, -3)を通りベクトル $\vec{a} = (3, -1, 2)$ に平行な直線 $l$ と、点(4, -3, 1)を通りベクトル $\vec{b} = (3, 7, -2)$ に平行な直線 $m$ の交点の座標を求める。 (2) 点(6, 3, -4)を通りベクトル $(-1, 1, 4)$ に平行な直線 $l$ と、点(2, 4, 6)を中心とする半径3の球面との交点の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 点(1, 2, -3)を通りベクトル $\vec{a} = (3, -1, 2)$ に平行な直線 $l$ と、点(4, -3, 1)を通りベクトル $\vec{b} = (3, 7, -2)$ に平行な直線 $m$ の交点の座標を求める。

(2) 点(6, 3, -4)を通りベクトル $(-1, 1, 4)$ に平行な直線 $l$ と、点(2, 4, 6)を中心とする半径3の球面との交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ のパラメータ表示は、パラメータを $s$ として

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3s \\ 2-s \\ -3+2s \end{pmatrix}

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直線 $m$ のパラメータ表示は、パラメータを $t$ として

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+3t \\ -3+7t \\ 1-2t \end{pmatrix}

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交点を求めるには、

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\begin{cases}

1+3s = 4+3t \\

2-s = -3+7t \\

-3+2s = 1-2t

\end{cases}

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これを解く。

最初の式から $3s - 3t = 3$ 、つまり $s - t = 1$

2番目の式から $-s - 7t = -5$ 、つまり $s + 7t = 5$

これを解くと、 $8t = 4$ より $t = \frac{1}{2}$ 。すると $s = \frac{3}{2}$

3番目の式に代入して確認すると $-3+2(\frac{3}{2}) = 0$ 、 $1-2(\frac{1}{2}) = 0$ となり成立する。

$t=\frac{1}{2}$ を直線 $m$ の式に代入すると、

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\begin{pmatrix} 4+3(\frac{1}{2}) \\ -3+7(\frac{1}{2}) \\ 1-2(\frac{1}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}

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(2)

直線 $l$ のパラメータ表示は、パラメータを $s$ として

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-s \\ 3+s \\ -4+4s \end{pmatrix}

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球面の式は

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(x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-6)^2 = 3^2 = 9

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直線を球面の式に代入すると

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(6-s-2)^2 + (3+s-4)^2 + (-4+4s-6)^2 = 9

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(4-s)^2 + (s-1)^2 + (4s-10)^2 = 9

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16-8s+s^2 + s^2-2s+1 + 16s^2 - 80s + 100 = 9

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18s^2 - 90s + 117 = 0

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2s^2 - 10s + 13 = 0

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s = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(2)(13)}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4}

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判別式が負なので、実数解を持たない。よって交点はない。

3. 最終的な答え

(1) 交点の座標: $(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

(2) 交点なし