空間内に2点A(1, 3, 0), B(0, 4, -1)を通る直線 $l$ があり、点C(-1, 3, 2)を通り、ベクトル $\vec{d} = (-1, 2, 0)$ に平行な直線 $m$ がある。 (1) 直線 $l$ と $m$ が交わらないことを示す。 (2) 直線 $l$ 上の点Pと直線 $m$ 上の点Qの距離PQの最小値を求める。

1. 問題の内容

空間内に2点A(1, 3, 0), B(0, 4, -1)を通る直線 $l$ があり、点C(-1, 3, 2)を通り、ベクトル $\vec{d} = (-1, 2, 0)$ に平行な直線 $m$ がある。

(1) 直線 $l$ と $m$ が交わらないことを示す。

(2) 直線 $l$ 上の点Pと直線 $m$ 上の点Qの距離PQの最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、直線 $l$ と $m$ の方向ベクトルを求めます。直線 $l$ の方向ベクトルは$\vec{AB}$ で与えられます。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0-1, 4-3, -1-0) = (-1, 1, -1)$

直線 $m$ の方向ベクトルは $\vec{d} = (-1, 2, 0)$ です。

次に、直線 $l$ と $m$ が交わらない条件を確認します。2つの直線が交わる、または平行である場合、それらの方向ベクトルは線形従属になります。しかし、$\vec{AB}$ と $\vec{d}$ は明らかに線形独立であるため、$l$ と $m$ は平行ではありません。

次に、2つの直線が同一平面上にあるかどうかを確認します。同一平面上にあるならば、$\vec{AB}, \vec{d}, \vec{AC}$ は線形従属になります。

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (-1-1, 3-3, 2-0) = (-2, 0, 2)$

3つのベクトル $\vec{AB}, \vec{d}, \vec{AC}$ が線形従属かどうかは、これらのベクトルを並べた行列の行列式が0になるかどうかで判断できます。

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -1(4-0) - (-1)(2-0) + (-2)(0-(-2)) = -4 + 2 - 4 = -6 \neq 0$

行列式が0でないため、3つのベクトルは線形独立であり、$l$ と $m$ は同一平面上にありません。したがって、$l$ と $m$ は交わらないことが示されました。

(2) 点Pは直線 $l$ 上にあるので、パラメータ $s$ を用いて

$\vec{OP} = \vec{OA} + s \vec{AB} = (1, 3, 0) + s(-1, 1, -1) = (1-s, 3+s, -s)$

点Qは直線 $m$ 上にあるので、パラメータ $t$ を用いて

$\vec{OQ} = \vec{OC} + t \vec{d} = (-1, 3, 2) + t(-1, 2, 0) = (-1-t, 3+2t, 2)$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (-1-t - (1-s), 3+2t - (3+s), 2 - (-s)) = (-2-t+s, 2t-s, 2+s)$

PQの距離の2乗は

$|\vec{PQ}|^2 = (-2-t+s)^2 + (2t-s)^2 + (2+s)^2 = (4 + t^2 + s^2 + 4t - 4s - 2st) + (4t^2 - 4ts + s^2) + (4 + 4s + s^2) = 5t^2 + 3s^2 - 6st + 4t + 8$

$|\vec{PQ}|^2 = 5(t^2 + \frac{4}{5}t) + 3(s^2 - 2st) + 8 = 5(t + \frac{2}{5})^2 - 5(\frac{4}{25}) + 3((s-t)^2 - t^2) + 8 = 5(t + \frac{2}{5})^2 + 3(s-t)^2 - 3t^2 - \frac{4}{5} + 8 = 2t^2 + \frac{20}{5}t + \frac{81}{5} + 3(s-t)^2$

$|\vec{PQ}|^2$ を最小化するために、$\frac{\partial}{\partial t} |\vec{PQ}|^2 = 4t + \frac{20}{5} -6(s-t) = 0$, $\frac{\partial}{\partial s} |\vec{PQ}|^2 = 6(s-t) = 0$.

$s=t, 4t+\frac{20}{5}=0$, $t = -1$. $s=-1$.

$\vec{PQ} = (-2+1-1, -2+1, 2-1) = (-2, -1, 1)$

$|\vec{PQ}|^2 = 4+1+1 = 6$. $|\vec{PQ}| = \sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

(1) $l$ と $m$ は交わらない。

(2) $\sqrt{6}$