複素平面上の3点 $P_1(z_1)$、$P_2(z_2)$、$P_3(z_3)$ が $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = 1 + \sqrt{3}i$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $\angle P_2P_1P_3$ を求めよ。 (2) $P_1P_2 : P_1P_3$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素平面上の3点 $P_1(z_1)$、$P_2(z_2)$、$P_3(z_3)$ が $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = 1 + \sqrt{3}i$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $\angle P_2P_1P_3$ を求めよ。

(2) $P_1P_2 : P_1P_3$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle P_2P_1P_3$ を求める。

$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = 1 + \sqrt{3}i$ であるから、この複素数の偏角を考える。

$\arg\left(\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1}\right) = \arg(z_2 - z_1) - \arg(z_3 - z_1) = \angle P_2P_1P_3$

$1 + \sqrt{3}i$ の偏角は $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$

よって、$\angle P_2P_1P_3 = \frac{\pi}{3}$

(2) $P_1P_2 : P_1P_3$ を求める。

$\left|\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1}\right| = \frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{P_1P_2}{P_1P_3}$

$|1 + \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

よって、$\frac{P_1P_2}{P_1P_3} = 2$

したがって、$P_1P_2 : P_1P_3 = 2 : 1$

3. 最終的な答え

(1) $\angle P_2P_1P_3 = \frac{\pi}{3}$

(2) $P_1P_2 : P_1P_3 = 2 : 1$