一辺が $a$ 個の碁石で正方形を作ったとき、全体の碁石の個数を求める問題です。与えられた4つの式(ア〜エ)がそれぞれどのような求め方をしているのか、図を用いて説明する必要があります。

1. 問題の内容

一辺が $a$ 個の碁石で正方形を作ったとき、全体の碁石の個数を求める問題です。与えられた4つの式(ア〜エ)がそれぞれどのような求め方をしているのか、図を用いて説明する必要があります。

2. 解き方の手順

ア. $4a-4$ の場合：

正方形の各辺にある碁石の数を $a$ 個とします。4つの辺があるので $4a$ ですが、各頂点の碁石は2回数えられているため、重複している4つの頂点の碁石を引きます。よって $4a - 4$ となります。

言い換えると、4つの辺をそれぞれ独立に数え、各辺で角にある石を1つ除いて数える考え方です。すなわち、$4(a-1)$。$4a-4 = 4(a-1)$は同じ事を言っているだけです。

イ. $4(a-1)$ の場合：

各辺の碁石の数を $a$ 個とします。まず、1つの辺から碁石を1つ取り除き、$a-1$ 個とします。取り除いた碁石は頂点の碁石です。この $a-1$ 個の碁石が4辺にあるので、$4(a-1)$ となります。

ウ. $4(a-2)+4$ の場合：

各辺において、両端にある碁石 (頂点の碁石) を除くと、$a-2$ 個の碁石が並んでいます。これが4辺にあるので、$4(a-2)$ です。そして、除いた4つの頂点の碁石を最後に足して、$4(a-2) + 4$ となります。

エ. $a^2 - (a-2)^2$ の場合：

正方形全体の碁石の数は $a \times a = a^2$ です。次に、正方形の内側にある、一辺が $a-2$ 個の碁石でできた正方形を考えます。その碁石の数は $(a-2) \times (a-2) = (a-2)^2$ 個です。全体の碁石の数 $a^2$ から内側の碁石の数 $(a-2)^2$ を引くと、外側の1列の碁石の数、$a^2 - (a-2)^2$ を求めることができます。

3. 最終的な答え

ア. 各辺にある碁石の数を数え、重複する4つの頂点の碁石の数を引く。

イ. 各辺から1つ（頂点）の碁石を除いた数を4倍する。

ウ. 各辺から2つ（両端の頂点）の碁石を除いた数を4倍し、最後に頂点の碁石の数を足す。

エ. 全体の碁石の数から、内側の正方形の碁石の数を引く。