複素数平面上で、関係式 $2|z-i| = |z+2i|$ を満たす複素数 $z$ の描く図形 $C$ を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

複素数平面上で、関係式 $2|z-i| = |z+2i|$ を満たす複素数 $z$ の描く図形 $C$ を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、$z = x+yi$ ($x$, $y$ は実数) とおく。与えられた関係式に代入すると、

$2|x+yi-i| = |x+yi+2i|$

$2|x + (y-1)i| = |x + (y+2)i|$

両辺を2乗して、

$4|x + (y-1)i|^2 = |x + (y+2)i|^2$

$4(x^2 + (y-1)^2) = x^2 + (y+2)^2$

$4(x^2 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$4x^2 + 4y^2 - 8y + 4 = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$3x^2 + 3y^2 - 12y = 0$

$x^2 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y) = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y-2)^2 = 2^2$

これは、中心 $(0, 2)$、半径 $2$ の円を表す。

3. 最終的な答え

中心が $0 + 2i$、半径が $2$ の円。